FOLLETO_DIFERENCIAL_V1

Ejercicios Resueltos de C´
alculo Diferencial
Primer Parcial

Jorge El´ıas Chamba Briones
Ayudante Acad´emico
FCNM - ESPOL
2015

1

Contents
1 Coordenadas Polares

3

2 Espacios m´
etricos

9

3 Topolog´ıa de la recta

10

4 L´ımites

13

4.1

Demostraci´on formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2

C´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Continuidad de funciones

31

6 Teorema de Bolzano

38

2

1

Coordenadas Polares

1) Graficar y calcular los puntos de intersecci´
on de las siguientes curvas polares:
r1 (θ) = cos(θ)
r2 (θ) = sen(2θ)
Soluci´
on:

Puntos de intersecci´
on:
cos(θ) = sen(2θ)
cos(θ) = 2sen(θ)cos(θ)
cos(θ)(1 − 2sen(θ)) = 0
cos(θ) = 0 ∧ 1 − 2sen(θ) = 0
θ=

π
2

θ1 =

π
2

⇒ r1 =0

θ2 =

π
6

⇒ r1 =

θ3 =

5π
6

P1

1
2

∧ sen(θ) =

π
2,0

π 5π
6, 6

√

3
2

⇒ r1 = −
, P2

⇒ θ=

√

√

3
2

3
π
6, 2

, P3

√
3
5π
6 ,− 2

2) Graficar la curva dada en coordenadas polares:

r=

32
3 + 5sen(θ)

Soluci´
on:

r=

32 5
32
32
5 3
=
=
5
5
5
3(1 + 3 sen(θ))
3(1 + 3 sen(θ))
1 + 3 cos(θ − π2 )

e=

5
(Hip´
erbola)
3

3

d=

3) Bosquejar las curvas r = 6sen(θ), r =

π
32
φ=
5
2

61+2sen(θ)

y determinar sus puntos de interseccion.

Soluci´
on:

r=

6
6
=
1 + 2sen(θ)
1 + 2cos(θ − π2 )

Excentricidad e = 2 ⇒ Hip´erbola
ed = 6 ⇒ d = 3

Puntos de intersecci´
on:
6✄
1+2sen(θ)

=6
✁sen(θ)

1 = sen(θ)(1 + 2sen(θ))

4

2sen2 (θ) + sen(θ) − 1 = 0
(sen(θ) + 1)(2sen(θ) − 1) = 0
sen(θ) = −1 ∧ 2sen(θ) = 1
θ=

3π
2

∧ sen(θ) =

θ=

3π
2

∧ θ=

θ=

3π
2

⇒ r = −6

θ=

π 5π
6, 6

1
2

π5π
6, 6

⇒ r=3

π
5π
P1 (−6, 3π
2 ), P2 (3, 6 ), P2 (3, 6 )

4) Determine la ecuacion cartesiana, correspondiente a r2 − 6r(cos(θ) + sen(θ)) + 9 = 0 y luego
bosqueje su gr´
afica.
Soluci´
on:

x = rcos(θ)
y = rsen(θ)

x2 + y 2 − 6x − 6y + 9 = 0
x2 − 6x + 9 − 9 + y 2 − 6y + 9 − 9 + 9 = 0
x2 − 6x + 9 + y 2 − 6y + 9 = 9
(x − 3)2 + (y − 3)2 = 9 ⇒ Circunferencia de radio 3 centrada en (3,3)

5) Lascurvas en coordenadas polares cuyas ecuaciones son r =

2
sec(θ)

y r = csc(θ) son tangentes.
Grafique dichas curvas y determine, en coordenadas polares, su punto de tangencia.

5

Soluci´
on:

2
sec(θ)

= csc(θ)

2cos(θ) =

1
sen(θ)

1 = 2sen(θ)cos(θ)
1 = sen(2θ)
2θ =
θ=

π
4

π
2

⇒ r = 2cos( π4 ) =

√

Punto de tangencia: P =

2
√

2, π4

6) Sea r(θ) = 1 − 2senθ
a) Bosquejar su gr´
afico

b)Calcular los puntos de intersecci´
on de r(θ) con la circunferencia r = 2

1 − 2sen(θ) = 2

6

−1 = 2sen(θ)
sen(θ) = − 21
θ = − π6 , − 5π
6
P1 2, − π6 , P2 2, − 5π
6
7) Considere las ecuaciones polares r =

√

2 y r2 = −4cos(2θ)

a) Grafique las ecuaciones dadas
Soluci´
on:

b) Sean P y Q los puntos de intersecci´
on de las ecuaciones polares dadas considerando θ ∈ (0, π).

Determine las coordenadasen polares de P y Q.
Soluci´
on:
2 = −4cos(2θ)
cos(2θ) = − 12
2θ =
θ=

2π 4π
3 , 3

π 2π
3, 3

√
P = ( 2, π3 )
√
Q = ( 2, 2π
3 )

7

c) Determine la ecuaci´
on polar de la recta l tal que P ∈ l y Q ∈ l.
Soluci´
on:

√
x = √2cos( π ) = 2
3
2
π
P ( 2, 3 ) ⇒
√
y = √2sen( π ) = 6
3
2

√
√
x = 2cos( 2π ) = − 2
√ 2π
3
2
Q( 2, 3 ) ⇒
√
y = √2sen( 2π ) = 6
√

3

2

La recta que pasa por ambos puntoses horizontal ya que la ordenada es igual en los dos puntos.
Ecuaci´
on de la recta en coord. rectangulares y =
rsen(θ) =

√

6
2

√

6
2

Ecuaci´
on de la recta en coord. polares r =

√
6
2sen(θ)

d) Califique la siguiente proposicion como VERDADERA o FALSA. Justifique su respuesta.
Si θ = 1 es la ecuaci´
on de una curva C en coordenadas polares, entonces la gr´
afica de C es una circunferenciacentrada en el polo con radio de longitud 1
Soluci´
on:
La ecuaci´
on θ = 1 es una funci´
on de ´
angulo constante, por lo tanto se refiere a la semirecta que forma un a´ngulo
de 1 radi´
an con respecto al eje polar.

La proposici´
on es FALSA

8

2

Espacios m´
etricos

1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.

a) Sea X = R. Si d :...