Formulario Cálculo

Formulario de Prec´lculo.
a

5. Leyes de los logaritmos.
a ) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)

1.

Los N´ meros.
u

1. Leyes de los exponentes y radicales.
mn

a) a a = a
d)

n

a
b

g ) a1/n
j)

m +n

mn

b ) (a ) = a

n

mn

a
bn
√
= na

d ) aloga (x) = x

1
an
√m
= ( n a)

f ) a−n =

e ) loga (ax ) = x

i ) am/n

e)

√
√√
n
n
ab = n ab

nn

c ) (ab) = a b

a
= am− n
an
√
h ) am/n = n am
√
n
a
a
k) n = √
n
b
b

= loga (P ) − loga (Q)

c ) loga (Qn ) = n loga (Q)
n

m

=

P
Q

b ) loga

f ) loga (1) = 0

l)

√
n

m

a=

g ) aloga (a) = 1

√
a

mn

h ) log(x) = log10 (x)

2. Productos Notables.

i ) ln(x) = loge (x)
2

a ) Binomios Conjugados: (x + y )(x − y ) = x − y
22

2

b ) Binomio al Cuadrado: (x ± y ) = x ± 2xy + y

j ) Cambio de base:

2

c ) Binomio al Cubo: (x ± y )3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

logb (Q)
logb (a)

loga (Q) =

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas

2

d ) (x + y ) = x2 + 2 xy + y 2
2

e ) (x − y ) = x2 − 2 xy + y 2
3

f ) (x + y ) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3

6. Soluciones Exactas de EcuacionesAlgebraicas.

3

g ) (x − y ) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

a ) La Ecuaci´n Cuadr´tica: ax2 + bx + c = 0 tiene
o
a
soluciones:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
2
El n´ mero b − 4ac se llama discriminante de la ecuau
ci´n.
o
i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ son reales y diferentes.
ıces
ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ son reales e iguales.
ıces
iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ son complejasconjugaıces
das.

4

h ) (x + y ) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
i ) (x − y )4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5

j ) (x + y ) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5
k ) (x − y )5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
n

(x + y )n =
r =0

Nota:

n
r

= n Cr =

n n−r r
x
y
r

b ) Para laEcuaci´n C´ bica: x3 + ax2 + bx + c = 0
o
u
sean:

n!
r!(n − r)!

Q=

4. Factores Notables.
a ) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y )(x − y )
b ) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y )(x2 − xy + y 2 )
3

3

2

S=

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ± 2xy + y 2 = (x ± y )2
2

3

3

e ) x − y = (x − y ) (x + y )
2

f ) x − y = (x − y ) x + xy + y

2

g ) x3 + y 3 = (x+ y ) x2 − xy + y 2
4

4

2

h ) x − y = (x − y ) (x + y ) x + y

x3 = −

2

i ) x5 − y 5 = (x − y ) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4

j ) x5 + y 5 = (x + y ) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

k ) x6 −y 6 = (x − y ) (x + y ) x2 + xy + y 2
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2

m ) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2

R+

R=

9ab − 27c − 2a3
54

Q3 + R 2 ,

T=

Entonceslas soluciones son:
a
x1 =S + T −
3
S+T
a
x2 = −
+
+
2
3

2

c ) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y )(x + xy + y )
2

3

3 b − a2
,
9

x2 − xy + y 2

x2 − xy + y 2

x2 + 2 xy + 2 y 2
1

S+T
a
+
2
3

−

3

R−

√
(S − T ) 3
2
√
(S − T ) 3
2

Q3 + R 2

i
i

El n´ mero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuau
ci´n.
o
i) Si Q3 + R2 > 0, hay unara´ real y dos son comız
plejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ son reales y por lo meıces
nos dos son iguales.
iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ son reales y diferentes.
ıces

3.

Funciones Trigonom´tricas.
e

3.1.

Relaciones
nom´tricas.
e
csc(A) =

entre

Funciones

cos3 (A) =

5
8

sen(A) −

5
16

sen(3A) +

1
16

sen(5A)

5
8

cos(A) +

5
16cos(3A) +

1
16

cos(5A)

csc2 (A) − cot2 (A) = 1

2

3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´tricas.
e

sen(A) + sen(B ) = 2 sen

A +B
2

cos

A− B
2

sen(A) − sen(B ) = 2 sen

A− B
2

cos

A +B
2

cos(A) + cos(B ) = 2 cos

A +B
2

cos

A− B
2

cos(A) − cos(B ) = 2 sen

A +B
2

sen

B −A
2

+

1
2

sen(A) −

1
2...