Formulario y Tablas de Probabilidad

Formulario y Tablas de Probabilidad para los Cursos de
Probabilidad, Inferencia Estad´
ıstica y Econometr´ ∗
ıa
Ernesto Barrios Zamudio1
Jos´ Angel Garc´ P´rez2
e ´
ıa e
Departamento Acad´mico de Estad´
e
ıstica
Instituto Tecnol´gico Aut´nomo de M´xico
o
o
e

Octubre 2009
Versi´n 1.00
o

´
Indice
2

1. Formulario
1.1. Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Distribuciones de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Distribuciones Bivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4. Distribuci´n Normal Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

52. Tablas de Probabilidad

6

2.1. Distribuci´n Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

6

2.2. Distribuci´n Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

12

2.3. Distribuci´n Normal Est´ndar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a

13

2.4.Distribuci´n Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

15

2.5. Distribuci´n t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

16

2

2.6. Distribuci´n χ Ji-Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

17

2.7. Distribuci´n F . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

18

2.8. Distribuci´n del estad´
o
ıstico d de Durbin-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3. Tabla de N´ meros Aleatorios
u

33

3.1. 1050 N´meros Seudoaleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u

∗

Material tomado de los documentos de trabajoDE-A09.1 y DE-A09.3, de los mismos autores.

1

ebarrios@itam.mx
ja.garciap0@gmail.com

2

1

33

Probabilidad, Inferencia Estad´
ıstica y Econometr´
ıa

1.

2

Formulario

1.1.

Variables Aleatorias

• Valor Esperado de g(X)

E(g(X)) =













g(x)P (X = x),

si X es discreta

x
∞

g(x)fX (x)dx

si X es continua

−∞

•Propiedades de la funci´n generadora de momentos
o
MX+a (t)
MbX (t)
M X+a (t)
b

= eat MX (t)
= MX (bt)
a
t
= e b t MX ( )
b

• Tercero y Cuarto Momentos con respecto a la Media
E[(X − µ)3 ] = E(X 3 ) − 3E(X)E(X 2 ) + 2(E(X))3
E[(X − µ)4 ] = E(X 4 ) − 4E(X)E(X 3 ) + 6(E(X))2 E(X 2 ) − 3(E(X))4
• Coeficientes de Asimetr´ y de Kurtosis
ıa
CA
CK

= α3 =

µ3
3/2

µ2
µ4
= α4 = 2
µ2• M´todo de Transformaci´n de Variables
e
o
Sea U = h(Y ), con h mon´tona creciente o decreciente en y. Entonces
o
fU (u) = fY (y)

c E. Barrios y J. A. Garc´
ıa

dy
,
du

donde y = h−1 (u)

v.1.00

Distribuciones de Probabilidad

Distribuci´n
o

Uniforme discreta

Notaci´n
o

Funci´n
o
de
Probabilidad

Soporte RX

px (1 − p)1−x

K

xi
i=1

Var(X)1
K

Funci´n
o
Generadora
de Momentos

K
i=1

(xi − E(X))2

1
k

etxi

i

Be(p)

Binomial

Bin(n, p)

x ∈ {0, 1, . . . , n}

Poisson

Po(λ)

x ∈ {0, 1, 2, . . .}

Uniforme continua

unif(a, b)

a≤x≤b

Normal

N(µ, σ 2 )

−∞ < x < ∞

Gama∗

Gama(α, β)

x ∈ R+

p(1 − p)

pet + (1 − p)

np

np(1 − p)

[pet + (1 − p)]n

λx e−λ
x!

x ∈{0, 1}

p

λ

λ

1
b−a

Bernoulli

∗

1
K

1
K

unif{x1 , . . . , xK } x ∈ {x1 , . . . , xK }

E(X)

a+b
2

(b − a)2
12

µ

σ2

αβ

αβ 2

n x
p (1 − p)n−x
x

1
√
σ 2π

Probabilidad, Inferencia Estad´
ıstica y Econometr´
ıa

c E. Barrios y J. A. Garc´
ıa

1.2.

exp − 1
2

x−µ 2
σ

xα−1 e−x/β
Γ(α)β α

eλ(e

t

−1)

etb − eta
t(b...