Formulario

Formulario I

Universidad Simón Bolívar

Vibraciones Mecánicas: Teoría & Medición
Frecuencia
natural

Sist. masa-resorte-amortiguador de 1GDL
k

f (t )

m

m &x&(t ) + c x&(t ) + k x(t ) = f (t )

Ec. de mov.:

c

&x&(t ) + 2ζω n x&(t ) + ω n2 x(t ) =

x(t )

f (t )

Resp. libre:

f (t ) = 0

x(t ) = xh (t ) = e
x&(0 ) = v0

F(t) constante:

[ACos (ω d t ) + BSen(ω d t )] =

A = x0
v + ζω n x0
B=0

Cond. iniciales

x(0 ) = x0

− ζω n t

x(t ) = xh (t ) + x p (t )

f (t ) = f 0

f0
k

x p (t ) =

Deflexión estática
del resorte

c
2mω n

x(0 ) = x0

δs =

2

Desfasaje

[ A]

φ = tg −1 B

ωd = ωn 1 − ζ 2

⎛ x1 ⎞ 2π n ζ
⎟⎟ =
≈ 2π n ζ
1−ζ 2
⎝ x2 ⎠

Td = 2π

δ = Ln⎜⎜

x(t ) = xh (t ) + x p (t )

Desbalance:

x p (t ) =

x p (t ) =

f (t ) = m0 eΩ 2 Sen(Ωt )

f0
G( r ,ζ ) Sen(Ωt − γ )
k

m0 e2
r G( r ,ζ ) Sen (Ωt − γ )
m

Movimiento de la base:

x p (t ) = z 0 r 2 G( r ,ζ ) Sen(Ωt − γ )

f (t ) = mz 0 Ω 2 Sen (Ωt )

Formulario II

γ = tg −1 ⎢

Relación de
frecuencias

r=

5

1
2

r 2G =

5

ζ = 0.001
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.7
ζ =1

1

⎛ 2ζ r ⎞
2 ⎟
⎝1− r ⎠

γ = tg −1 ⎜

γ

100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

60
40

3.5

r

4

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

5
4
f tr
f0

3
23
2
1

4

0

r

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 r

F(t) depende de Ω 2
6

f tr
=
f0

1 + (2ζ r )

2

(1 − r ) + (2ζr )
2 2

2

ζ = 0.001
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.7
ζ =1

0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

f tr
= r2
meω n2

5

1 + (2ζ r )

2

(1 − r ) + (2ζr )
2 2

2

4
ζ = 0.001
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.7
ζ =1

f tr
Meω n2 3

2

1

Euro Casanova, ene 2012

2

ζ = 0.001
ζ =0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.7
ζ =1

4

F(t) = f0

6

Fuerza transmitida a la base:

2 2

r 2G( r ,ζ )

ζ = 0.001
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.7
ζ =1

80

20

0

r2

(1 − r ) + (2ζr )

140
120

2

2

F(t) depende de Ω2

2

4
3

ωn

6

160

(1 − r ) + (2 ζ r )
2

Ω

Vibraciones Mecánicas: Teoría & Medición

180
G(r) =

⎡ 2ζ r ⎤
2
⎣1 − r ⎥⎦

Desfasaje

6

0

Desfasaje con
la excitación(1 − r ) + ( 2ζ r ) 2
2 2

Factor de amplificación

Factor de amplificación
F(t) = f0

G ( r ,ζ )

G( r ,ζ ) =

f tr = ( m0 eω n2 ) r 2 G( r ,ζ ) 1 + ( 2ζ r ) 2

Euro Casanova, ene 2012

Universidad Simón Bolívar

1

Factor de
amplificación

f tr = f 0 G( r ,ζ ) 1 + ( 2ζr ) 2

f tr = cx& p (t ) + kx p (t ) = f tr Sen (Ω t − γ − β )

Fuerza transmitida a la base:

ωd

Deflexión estática del
resorteante la fuerza fo

F(t) armónica:

f (t ) = f 0 Sen(Ωt )

mg
k

x&(0 ) = v0

Frecuencia natural
amortiguada

A + B Cos (ω d t − φ )
2

Decremento
logarítmico

ωd

ζ =

Cond. iniciales

EDO de 2do orden, lineal, no homogénea

p.e.e

k
m

ωn =
1
m

Factor de
amortiguación

1
r

0

0

0.5

1

1.5 2

2.5

3

3.5 4 r

3

Formulario III

Universidad Simón Bolívar

Vibraciones Mecánicas: Teoría &Medición

F(t) periódica:

f (t )

(

f* ∞
= 0 + ∑ f j* Sen jΩ t − θ j
2
j =1

f =
*
j

f jC =
f jS =

⎡ f jC ⎤
S ⎥
⎢⎣ f j ⎥⎦

(f ) + (f )
C 2
j

2
T
2
T

)

x(t ) = xh (t ) + x p (t )

θ j = tg −1 ⎢

S 2
j

Rel. Frecuencia
para armónico j

T

∫ f ( )Cos ( jΩ t ) dt

rj =

2π
Ω=
T

t

0
T

∫ f ( )Sen( jΩ t ) dt

(

*
f 0* ∞ f j
+∑
G( r j ,ζ ) Sen jΩ t − θ j − γ j
2 k j =1 k

x p (t ) =

Factor deamplificación
para armónico j

jΩ

ωn

t

Integral de Duhamel

Respuesta debida a las cond. iniciales

Función respuesta
impulsiva unitaria

t
⎡
⎤
v + ζω n x0
x(t ) = ∫ f (τ )h(t −τ )dτ + e −ζω nt ⎢ x0 Cos (ω d t ) + 0
Sen(ωd t )⎥
ωd
⎣
⎦
0

f(t )

ζ =0

f0

x( t ) =

t

0

f (t )

t >0

0

t

Euro Casanova, ene 2012

x( t ) =

t

t0

ζ =0

f0
0

x(t ) =

t0

L

λ = ω2
Sólo tiene solución no
trivial si secumple:
Los autovectores se
calculan a partir de:

L

mj

xj
M =M NxN

Vibraciones Mecánicas: Teoría & Medición

M&x& (t ) + Cx& (t ) + Kx (t ) = f (t )

mN

C = C NxN

f (t ) = 0
C=0

[K − λ M ] φ = 0
det [K − λ M ] = 0

[K − λ M ] φ
j

f = f Nx1

En general:

Solución
propuesta:

x (0 ) = x 0

M = MT

x (t ) = φ e i ω t

Sist. de N EDO de 2do orden,
acoplado, lineal, no homogéneo

x& (0 ) =...