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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

5. EJERCICIOS PROPUESTOS
A continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.

5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1
1. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuación

x + y + z = a y sobre el rectángulo D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ] , donde a ∈+

, considerando una partición de 9

subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra:
a. Al punto medio de cada subcuadrado.
b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.
2. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie z = 16 − x 2 − y 2 e inferiormente
por el cuadrado D = [ −2 , 2 ] × [ −2 , 2] , tomando como punto de muestra al centro de cadasubrectángulo y considerando:
a. n = 4 y m = 2

b. n = 6 y m = 3

∫∫ f ( x, y ) dA , donde:

3. Resuelva la integral iterada

D

a. f ( x, y ) = a − x − y

y

c. f ( x, y ) = 2 x − y y

D = [ 0 , 2] × [ 0 ,1]

e. f ( x, y ) = ( 2 x + 3 ) y y

4. Calcule la integral doble

D = [ 0 ,a ] × [ 0 ,a ]

 2
D =  0 ,  × [1,5]
 3

f ( x, y ) = x 2 +
2

D = [ −2 , 2 ] × [ −2, 2 ]

y
y D = [ −4 ,3] × [ −2 , −1]
2

f. f ( x, y ) = x + y y

D

a. f ( x, y ) = 2 x − y y

c. f ( x, y ) = xy y

d.

y

2

D = [ 0 ,1] × [ 0 ,1]

∫∫ f ( x, y ) dxdy , y plantee la integral iterada en el orden de integración

inverso. Además, dibuje la región

b. f ( x, y ) = x + y y

b. f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2

D=

D=

D=

D , donde:

{( x, y )

{(x, y )

{( x, y )

1≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ x

}

0 ≤ x ≤1 ∧ 0 ≤ y ≤ x

}

y ≤ x ≤ y +1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

}

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d.

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3
f ( x, y ) = x + ( 2 y + 3) y D = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≤ y ≤ 4 x 



e. f ( x, y ) = 2 x − y
f. f ( x, y ) = e

− xy

2

3

D={( x, y )

2

h. f ( x, y ) = x + 2 y
2

5.

3

y2

y

D=

y
3

i. f ( x, y ) = x + y y
j f ( x, y ) = xe

{( x, y )

y

D=

y

g. f ( x, y ) = x + y

h. f ( x, y ) =

2



y

D=

D=

x≥0 ∧

{( x, y )

D=

0 ≤ x ≤1 ∧

{( x, y )

{( x, y )

{( x, y )

y≤x ∧

x + y + 2 y D = {( x, y )

Calcule la integral doble

∫∫

D

}
}

x2+ y 2 ≤ 1

x2 + y 2 ≥ 1 ∧

y ≤ 4x − x2

x≥0 ∧

x2 ≤ y ≤ 4 x

y≥0 ∧

y≥0 ∧



∧

}

x2 + y 2 − 2 x ≤ 0

y≥0 ∧

}

y ≥ 6 − 3x

}

y ≥ x2 − 4

}

x2 ≤ y ≤ 9

y ≤ 3 − x2 − 2x ∧

y≥ x

}

xdxdy , siendo D el paralelogramo de vértices:

 2 1,  2 1 ,
 − ,−   , 
 3 3  3 3

 4 1  y ( 0,−1) .
 , 
 3 3

6.

Calcule la integral doblex2
∫∫D x 2 + y 2 dxdy , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por

las rectas y = x , y = − x y x = 1 .

7.

Calcule la integral doble

∫∫ ( x − y )
D

2

sen 2 ( x + y ) dxdy , siendo D el triángulo cuyos vértices son:

( 0,π ) , ( 2π ,π ) y (π , 2π ) .

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2
1
2

dxdydz donde B = [ 0 , 2] × [ 0 ,1] × [ −1,3] .

1. Calcule

∫∫∫ ( x + y + z + 2 )

2. Calcule

∫∫∫

3. Calcule

∫∫∫ ( x + y )dxdydz

4. Calcule

∫∫∫ ( 3x − y )dxdydz donde B = {( x, y,z )

5. Calcule

∫∫∫

B

−

2
2
2
zdxdydz donde B = ( x, y,z ) x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x 2 + y2 + z 2 ≤ 1 .

B

a



B

donde B =

{( x, y,z )

2

B

6. Calcule

B

dxdydz donde B = {( x, y,z )

∫∫∫

B

∫∫∫

B

c



}

4 ( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 16 .

}

y 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 .

}

x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤ z ≤ y 2 .

x + yz
dxdydz donde B es el sólido limitado por las superficies: y = x ,
2

y = 2 x , B = {( x, y,z )
7. Calcule

b

}

x2 + y2 ≤ 2x ∧ 0 ≤...