fracciones racionales

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Conceptos.
Para manipular o efectuar operaciones con expresiones racionales fraccionarias, o fracciones racionales, se procede en forma similar a como se trabajan las fracciones en aritmética.

Una Fracción racional es la expresión que indica división de dos polinomios con al menos una variable en el polinomio del denominador, como:

; ; ó

En toda fracciónracional se distinguen:

El numerador P
El denominador Q

Se excluye el caso de que al evaluar Q éste polinomio se anule porque significa y la división entre cero no está definida.

Cuando el grado del numerador de una fracción es menor que el del denominador se tiene una fracción propia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias:

; ;

Siel grado del numerador de una fracción es mayor que el grado del denominador, o son iguales; se tiene una fracción impropia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias. Son impropias:

; ;

Si en una fracción impropia los polinomios del numerador y denominador presentan la misma variable, entonces dicha expresión fraccionaria puede transformarse en lasuma de un polinomio y una fracción propia; esto se logra efectuando la división y recordando que:



Ejemplo: Expresar la siguiente fracción en la forma :



Se procede a efectuar la división:



Así que:

Una fracción propia es aquella donde el grado del polinomio del numerador es menor al grado del polinomio que es el denominador. Son propias:

; ;

Una Fracción racionalreducida es aquella cuyo numerador y denominador no tiene factores comunes, distintos de 1 y -1

Por ejemplo: es una fracción reducida, así como .

Sin embargo no es fracción reducida porque: y poseen un factor común.

Tampoco es una fracción reducida, porque y contienen a como factor común.

Las fracciones y son equivalentes si y solo si se cumple que . En estos casos se escribe.

si y si

Ejemplos:
a) Como y entonces:




b) Las fracciones y son equivalentes, es decir , porque:



Ejercicios:
I. Expresa en la forma la fracción .
1.
2.
3.

II. Indica en el paréntesis cual es la respuesta correcta en cada caso:

1.
La fracción propia es.


a)
b)
c)
d)


2.
La igualdad verdadera es.


a)
b)
c)
d)3.
La fracción irreducible es.


a)
b)
c)
d)


4.
La fracción equivalente a es.


a)
b)
c)
d)


5.
La expresión equivalente a es.


a)
b)
c)
d)


6.
La expresión igual a es.


a)
b)
c)
d)


7.
Dos fracciones equivalentes son y.


a)
b)
c)
d)


8.
Dado que entonces.


a)
c)


b)
d)


PROPIEDADES

Porconvención fracciones como Y pueden sustituirse por , de ahí que:

, y

Siendo y polinomios. También:

y

Propiedad de inserción de factores comunes.
Si y son polinomios, entonces es válido multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción racional por cualquier polinomio ; al hacerlo se obtienen dos fracciones equivalentes porque .



Ejemplos:
a) Convertiren una fracción equivalente con denominador .

Como contiene el factor , entonces es posible multiplicar por cierto polinomio para obtener siempre que el numerador se multiplique por el mismo polinomio:



b) Transformar en una fracción equivalente con numerador igual a .

Se tiene factorizando.

Luego aplicando la propiedad para insertar factores y .

C) Encontrar la fracciónequivalente a cuyo numerador sea .

Resolución:

Propiedad para insertar factores.
Multiplicando.
Propiedad conmutativa de la suma en el numerador.

Propiedad de cancelación de factores comunes.
Se puede obtener fracciones equivalentes a una dada, suprimiendo factores del numerador y del denominador, siempre y cuando se suprima simultáneamente el mismo factor en el numerador y el...