FraccionesParciales

Fracciones Parciales
Fracciones Propias e Impropias
P (x)
es una fracción propia, si el grado del
Q(x)
polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el
grado de P (x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.
Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un
polinomio mas una fracción propia.
Esdecir,

Definición 1 Se dice que una función racional

P (x)
N1 (x)
= {polinomio} +
Q(x)
Q(x)
Caso 1 El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.
Esto significa que podemos escribir
Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (ak x + bk )
en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1 , A2 , · · · , Ak tales
que
P (x)
A1
A2
Ak
=
+
+ ··· +
Q(x)
a1 x + b1 a2 x +b2
ak x + bk
Ejemplo

1.

x2

Descomponer en fracciones parciales la fracción:

7x + 3
+ 3x − 4

Solución Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como
sigue:
x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)
Luego la descomposición en fracciones parciales es:

x2

7x + 3
7x + 3
A
B
=
=
+
+ 3x − 4
(x + 4)(x − 1)
x+4 x−1

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x+ 4)(x − 1),
obteniendo
7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)
desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
A+B
= 7
−A + 4B = 3

⇒

Por lo que la fracción original queda:
1

A = 5, B = 2

x2

2.

5
2
7x + 3
==
+
+ 3x − 4
x+4 x−1

x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2 = x(2x − 1)(x + 2)
Luego, ladescomposición en fracciones parciales es:
x2 + 2x − 1
A
B
C
= +
+
x(2x − 1)(x + 2)
x
2x − 1 x + 2
multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor común, y luego resolviendo la
ecuación, se obtiene
x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)
con
1
1
1
A= , B= y C=−
2
5
10
así
1
1
1
− 10
x2 + 2x − 1
2
5
dx
=
+
+
2x3 + 3x2 − 2x
x 2x − 1 x + 2

Caso 2 El denominador q(x) es un producto defactores lineales, algunos de
los cuales se repiten.
Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1 x + b1 )k , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma:
A1
A2
Ak
+
+ ··· +
a1 x + b1 (a1 x + b1 )2
(a1 x + b1 )k
donde A1 , A2 , · · · , Ak son constantes.
Ejemplo

1.

Descomponer en fracciones parciales:

5x2 − 36x + 48
x(x − 4)2
SoluciónLa descomposición en fracciones parciales es:
5x2 − 36x + 48
A
B
C
+
= +
2
x(x − 4)
x
(x − 4) (x − 4)2

2

multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común
5x2 − 36x + 48 = A(x − 4)2 + Bx(x − 4) + Cx
obteniendo el sistema:
A+B = 5
−8A − 4B + C = −36
16A = 48

de donde

A = 3, B = 2, C = −4

Luego:
5x2 − 36x + 48
3
2
4
= +
−
2
x(x − 4)
x (x − 4) (x − 4)2

2.

x4 − 2x2 + 4x + 1x3 − x2 − x + 1
Solución Comenzaremos por dividir los polinomios
4x
x4 − 2x2 + 4x + 1
=x+1+ 3
3
2
2
x −x −x+1
x −x −x+1
luego, factorizando el polinomio q(x) = x3 − x2 − x + 1 resulta
x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2 (x + 1)
Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:
4x
A
B
C
=
+
+
2
2
(x − 1) (x + 1)
x − 1 (x − 1)
x+1
del cual de obtiene: A = 1, B = 2 y C = −1, de modo que
1
2
1
x4 −2x2 + 4x + 1
=x+1+
+
−
x3 − x2 − x + 1
x − 1 (x − 1)2 x + 1

Caso 3 El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno
de los cuales se repite.
Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax2 + bx + c, en donde,
b2 − 4ac < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la
forma:
Ax + B
ax2 + bx + c
donde A y B son constantes.Ejemplo

Descomponer en fracciones parciales:

3

1.

4x2 − 8x + 1
x3 − x + 6
Tenemos que
4x2 − 8x + 1
4x2 − 8x + 1
A
Bx + C
=
=
+ 2
3
2
x −x+6
(x + 2)(x − 2x + 3)
x + 2 x − 2x + 3
multiplicando por el común denominador:
4x2 − 8x + 1 = A(x2 − 2x + 3) + Bx + C(x + 2)
obteniendo el sistema
A+B = 4
−2A + 2B + C = −8
3A + 2C = 1

A = 3, B = 1, C = −4

de donde

Por lo tanto,
4x2 − 8x + 1
3
x−4
=
+ 2
3
x...