Fragtal


 GEOMETRIA PROYECTIVA
La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimientotrataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.
Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran decarácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.
Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artistaen tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.
El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).
Un sistema lógico axiomático parte de la definiciónde un reducido número de elementos básicos que se relacionan mediante un conjunto de reglas. La aplicación de estas reglas permite inferir propiedades o teoremas que a su vez son útiles para generar nuevas propiedades.
Se genera de esta forma un conjunto amplio de relaciones a partir de unas definiciones básicas (elementos) y un limitado número de reglas (axiomas).
Las reglas de inferencia son lasoperaciones proyectivas que relacionan a los elementos.
Los elementos básicos de la geometría clásica son los puntos, las rectas y los planos. Es posible definir nuevas geometrías con otros elementos básicos y diferentes operaciones y axiomas.
Estos elementos son los números de la geometría, y pueden ser usados, junto con las transformaciones gráficas como operadores, para idealizar y describirlos modelos de la realidad.
Los elementos pueden pertenecer a un espacio unidimensional, bidimensional, tridimensional …
Las figuras geométricas se forman a partir de los elementos básicos, por lo que interesa el estudio de sus posibles relaciones. En particular el enfoque basado en los invariantes conduce a un modelo de pensamiento que agrupa los conceptos en función de su independencia en laaplicación a la resolución de los problemas.
La razón simple y la razón doble, como se verá más adelante, permiten establecer nuevos modelos de solución en problemas que se han tratado normalmente desde una perspectiva pitagórica, en la que las medidas absolutas de las distancias, y no tanto sus relaciones con otras, constituyen el elemento argumental.
Al operar con estos elementos, los restantesdeben considerarse agrupaciones de los primeros. Por ejemplo, si el elemento base es el punto, la recta y el plano deben reducirse a conjuntos de puntos; la recta debe entenderse como un conjunto de infinitos puntos que se pueden determinar con un simple parámetro o coordenada respecto de un punto origen,; el plano como un conjunto de infinitos puntos determinados mediante dos parámetros de un sistemade coordenadas.
La geometría diferencial
La geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida...