FTLaterales

CAPÍTULO

3
Límite de una función

1

3.3 Límites laterales
Supongamos que f .x/ está definida en un cierto intervalo .a; x0 /. Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y menores que x0 , los valores correspondientes de
f .x/ están tan próximos a ˛1 como queramos, decimos que ˛1 es el límite por la izquierda de
f .x/, cuando x tiende a x0 . Lo anterior se denota mediantelím f .x/ D ˛1 I

x!x0

x ! x0 se lee: x tiende a x0 por la izquierda.
Supongamos que f .x/ está definida en un cierto intervalo .x0 ; b/. Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y mayores que x0 , los valores correspondientes de
f .x/ están tan próximos a ˛2 como queramos, decimos que ˛2 es el límite por la derecha de
f .x/, cuando x tiende a x0 . Lo anterior se denota
límf .x/ D ˛2 I

x!x0C

x ! x0C se lee: x tiende a x0 por la derecha.
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I
y
lím f .x/ D ˛2
 ✁

 ✁

 ✁

 ✁

C

x!x0

lím f .x/ D ˛1

x!x0

x ! x0C

x

 ✁

a

x0

b

x ! x0

A los límites lím f .x/ & lím f .x/ se les conoce como límites laterales.
x!x0

x!x0C

Es claro que:
lím f .x/ D ˛ , lím f .x/ D ˛ D lím f .x/.

x!x0

x!x0x!x0C
y

y D f .x/

˛
✂✄

✂✄

✂✄

x

a x0 b

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un límite.
Si no existe alguno de los límites laterales, el límite no existe.
Si los límites laterales existen pero son diferentes, el límite no existe.
Observación: para los límites laterales lím f .x/ & lím f .x/ hallamos resultados análogos a los
x!x0

x!x0C

que hemos enlistadoanteriormente para el límite lím f .x/.
x!x0

jx
Ejemplo 3.3.1 Dada la función f .x/ D
x
tes:
1. lím f .x/.
x!a

2

aj
, calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguiena

2. lím f .x/.
x!aC

3. lím f .x/.
x!a

3.3 Límites laterales

3

H Por definición de valor absoluto:
jx

aj D

x

a
.x

a/

si x
si x

a 0
D
a<0

x

a
.x

a/

si x aI
si x < a:

Por lo tanto
1. Si x ! a , entonces x < a &x
jx

a < 0, por lo que
jx aj
.x a/
D
D 1 )
x a
.x a/
jx aj
) lím
D lím 1 D 1:
x!a
x!a
x a

a j D .x

2. Si x ! aC , entonces x > a & x

x!a

lím f .x/ no existe.

a > 0, por lo que
jx aj
.x a/
D
D1 )
x a
.x a/
jx aj
) lím
D lím 1 D 1:
x!a
a
x!aC x

jx

3. Ya que lím f .x/ D

a/ &

aj D x

a&

1 & lím f .x/ D 1 entonces lím f .x/ ¤ lím f .x/ y por lo tanto
x!a

x!aC

x!aC

x!a

Observa que f .x/D

jx
x

aj
jx j
se obtiene de la función g.x/ D
desplazándola a unidades.
a
x



3x C 5 si x < 1I
Ejemplo 3.3.2 Dada la función g.x/ D x 2 C 1 si 1 < x < 2I


6 x
si x > 2;
calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguientes:
1.
2.

lím g.x/.

3. lím g.x/.

5. lím g.x/.

lím g.x/.

4. lím g.x/.

6. lím g.x/.

x! 1

x! 1

x! 1C

x!2C

x!2

x!2

H
1.
2.

lím g.x/ D lím .3x C 5/ D3. 1/ C 5 D

x! 1

x! 1

3 C 5 D 2.

lím g.x/ D lím .x 2 C 1/ D . 1/2 C 1 D 1 C 1 D 2.

x! 1C

x! 1C

3. Ya que lím g.x/ D 2 D lím g.x/, entonces lím g.x/ D 2.
x! 1

x! 1

x! 1C

4. lím g.x/ D lím .x 2 C 1/ D 22 C 1 D 4 C 1 D 5.
x!2

x!2

5. lím g.x/ D lím .6
x!2C

x!2C

x/ D 6

2 D 4.
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
6. Ya que lím g.x/ D 5 ¤ 4 D lím g.x/, entonces lím g.x/ no existe.
x!2x!2

x!2C

y
5
☎✆

4
☎✆

y D g.x/

2
☎✆

1

2

x



si x < 1I
ax C 5
2
Ejemplo 3.3.3 Dada la función h.x/ D x C 1
si 1 < x < 2I


mx C 6 si x > 2;
determinar los valores de las constantes a, m que aseguran la existencia de los límites: lím h.x/ & lím h.x/.
x! 1

x!2

H
1. lím h.x/ existe si y sólo si
x! 1

lím h.x/ D lím h.x/ , lím .ax C 5/ D lím .x 2 C 1/ ,

x! 1

x! 1C
2

, a. 1/ C 5 D . 1/C 1 ,

x! 1

aC5D1C1 ,

x! 1

aD2

5 D 3 , a D 3:

2. lím h.x/ existe si y sólo si
x!2

lím h.x/ D lím h.x/ , lím .x 2 C 1/ D lím .mx C 6/ ,

x!2

x!2C

x!2

x!2

, 22 C 1 D m.2/ C 6 , 5 D 2m C 6 , 2m D 5

6D 1 , mD

1
:
2

3. Resumiendo:
Con a D 3 y con m D

4

1
sucede que lím h.x/ D 2 & lím h.x/ D 5I h.x/ sería ahora
x! 1
x!2
2


si x < 1I

3x C 5
2
si 1 < x < 2I
h.x/ D x C 1

x


C...