Fumulas
Páginas: 7 (1518 palabras)
Publicado: 20 de julio de 2011
Ejercicio 3
Una masa m igual a 32 kg se suspende verticalmente de un resorte y, por esta razón, éste se alarga 39.2 cm. Determine la amplitud y el periodo de movimiento, si la masa se libera desde un punto situado 20 cm arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad ascendente de 1 m/s. ¿Cuántos ciclos habrá completado la masa al final de 40 s? Suponga g = 9.8 m/s .Usamos primero la ley de Hooke para conocer la constante del resorte. Tenemos que
k=FΔl=mgΔl=329.81.392=800 N/m.
Suponemos además que el sentido positivo es hacia abajo, con esto las condiciones iníciales son x0=-15m; x´0=-1m/s.
De forma que la ecuación diferencial para la posición x(t) es 32x"(t)+800(t)=0.
Esta ecuación tiene como soluciones r1=-5i ; r2 = 5i . Obtenemosentonces la posición de la masa: xt=c1cos5t+c2 sen 5t
Calculando la primera derivada de x(t), obtenemos la velocidad de la masa:
x´t=vt=-5c1sen5t+5c2cos5t
Usando las condiciones iniciales x(0)= -1/5, v(0)=1/5, en las ecuaciones previas, obtenemos:
c1=-15, 5c2=-1⟹c2=-15,
para cambiar la solucion obtenida ala forma:xt=Asen5t+ϕ=Asen5t cosϕ+Acos5t senϕ
Por identificación, tenemos que, -15=Asenϕ, -15=Acosϕ
de aquí obtenemos primero: A2=A2(sen2ϕ+cos2ϕ)=125+125=250. Por lo cual, la amplitud esA=25. Además tenemos que tanϕ=1 y debido a que cosϕ<0, se tiene entonces que,
ϕ=arctan1+π=π4+π=5π4.
Si usamos estos resultados en la posición y en la velocidad, obtenemos finalmentext=25sen5t+5π4m, vt=2cos5t+5π4ms.
La frecuencia natural, el periodo y la frecuencia son
w=5rads, T=2π5s, f=1T=52πosc/s.
La masa completará en 40 s, aproximadamente n=40f=100/π=31.83 ciclo.
Ejercicio 4
Una masa de 9 kg alarga un resorte 9.8 cm; el sistema masa-resorte se encuentra suspendido verticalmente. La masa se libera desde el reposo de un punto situado 5 cm debajode la posición de equilibrio.
a. Encuentre la posición de la masa en los tiempos t = 5 y 10 s.
b. ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t es igual a 12 s? ¿En qué dirección se dirige en ese instante?
c. ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?
d. ¿En qué tiempos tiene el resorte su máxima compresión y su máxima elongación?
De acuerdo con la ley deHooke tenemos que la constante del resorte es:
k=FΔl=mgΔl=99.8.098=900 N/m.
De forma que la ecuación diferencial que modela la posición x(t) de la masa es
9x"(t)+900x(t)=0
la ecuación característica es
9r2+900=0 ⟹r2+100=0
Sus soluciones son los números complejos r1 =-10i; r2=10i y la solución general de la ED es
xt=c1cos10t+c2 sen 10t
Calculando la primera derivada de x(t), obtenemosla velocidad de la masa
x´t=vt=-10c1sen10t+10cos10t
En este problema tenemos las condiciones iníciales x(0)=1/20, x´(0)=0.Observe que x(0) es positivo porque se ha soltado debajo del punto de equilibrio. Si sustituimos en las expresiones anteriores, resulta c1=1/20, c2=0. Usando estas constantes en la posición y velocidad tenemos:
xt=12cos10tm y vt=-12sen10tm/s
a) En los tiempos de t=5sy t=10s,la masa se encuentra en:
x5=15cos50=4.82cm; x10=120cos100=4.31cm.
Ambas posiciones debajo de la posición de equilibrio.
La velocidad de la masa cuando t=12s es v(12)=-1/2 sen 120 diferente de -.2903 m/s. La masa se dirige hacia arriba; recordemos que velocidades negativas indican que la masa se mueve hacia arriba y velocidades positivas indican que la masa se mueve haciaabajo.
c. La masa pasa por la posición de equilibrio cuando x(t)=0, es decir, cuando cos(t)=0, lo cual ocurre cuando
10t=π2+nπ,con n=0,1,2,…, donde, t=2n+1π20, con n=0,1,2,…
d. la máxima comprensión se obtiene cuando cos 10t=-1.
En este caso 10t=π+2nπ⟹t=2n+1π20, con n=0,1,2,….
La máxima elongación ocurre cuando cos10t=1, es decir, 10t=2nπ; esto sucede en los...
Una masa m igual a 32 kg se suspende verticalmente de un resorte y, por esta razón, éste se alarga 39.2 cm. Determine la amplitud y el periodo de movimiento, si la masa se libera desde un punto situado 20 cm arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad ascendente de 1 m/s. ¿Cuántos ciclos habrá completado la masa al final de 40 s? Suponga g = 9.8 m/s .Usamos primero la ley de Hooke para conocer la constante del resorte. Tenemos que
k=FΔl=mgΔl=329.81.392=800 N/m.
Suponemos además que el sentido positivo es hacia abajo, con esto las condiciones iníciales son x0=-15m; x´0=-1m/s.
De forma que la ecuación diferencial para la posición x(t) es 32x"(t)+800(t)=0.
Esta ecuación tiene como soluciones r1=-5i ; r2 = 5i . Obtenemosentonces la posición de la masa: xt=c1cos5t+c2 sen 5t
Calculando la primera derivada de x(t), obtenemos la velocidad de la masa:
x´t=vt=-5c1sen5t+5c2cos5t
Usando las condiciones iniciales x(0)= -1/5, v(0)=1/5, en las ecuaciones previas, obtenemos:
c1=-15, 5c2=-1⟹c2=-15,
para cambiar la solucion obtenida ala forma:xt=Asen5t+ϕ=Asen5t cosϕ+Acos5t senϕ
Por identificación, tenemos que, -15=Asenϕ, -15=Acosϕ
de aquí obtenemos primero: A2=A2(sen2ϕ+cos2ϕ)=125+125=250. Por lo cual, la amplitud esA=25. Además tenemos que tanϕ=1 y debido a que cosϕ<0, se tiene entonces que,
ϕ=arctan1+π=π4+π=5π4.
Si usamos estos resultados en la posición y en la velocidad, obtenemos finalmentext=25sen5t+5π4m, vt=2cos5t+5π4ms.
La frecuencia natural, el periodo y la frecuencia son
w=5rads, T=2π5s, f=1T=52πosc/s.
La masa completará en 40 s, aproximadamente n=40f=100/π=31.83 ciclo.
Ejercicio 4
Una masa de 9 kg alarga un resorte 9.8 cm; el sistema masa-resorte se encuentra suspendido verticalmente. La masa se libera desde el reposo de un punto situado 5 cm debajode la posición de equilibrio.
a. Encuentre la posición de la masa en los tiempos t = 5 y 10 s.
b. ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t es igual a 12 s? ¿En qué dirección se dirige en ese instante?
c. ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?
d. ¿En qué tiempos tiene el resorte su máxima compresión y su máxima elongación?
De acuerdo con la ley deHooke tenemos que la constante del resorte es:
k=FΔl=mgΔl=99.8.098=900 N/m.
De forma que la ecuación diferencial que modela la posición x(t) de la masa es
9x"(t)+900x(t)=0
la ecuación característica es
9r2+900=0 ⟹r2+100=0
Sus soluciones son los números complejos r1 =-10i; r2=10i y la solución general de la ED es
xt=c1cos10t+c2 sen 10t
Calculando la primera derivada de x(t), obtenemosla velocidad de la masa
x´t=vt=-10c1sen10t+10cos10t
En este problema tenemos las condiciones iníciales x(0)=1/20, x´(0)=0.Observe que x(0) es positivo porque se ha soltado debajo del punto de equilibrio. Si sustituimos en las expresiones anteriores, resulta c1=1/20, c2=0. Usando estas constantes en la posición y velocidad tenemos:
xt=12cos10tm y vt=-12sen10tm/s
a) En los tiempos de t=5sy t=10s,la masa se encuentra en:
x5=15cos50=4.82cm; x10=120cos100=4.31cm.
Ambas posiciones debajo de la posición de equilibrio.
La velocidad de la masa cuando t=12s es v(12)=-1/2 sen 120 diferente de -.2903 m/s. La masa se dirige hacia arriba; recordemos que velocidades negativas indican que la masa se mueve hacia arriba y velocidades positivas indican que la masa se mueve haciaabajo.
c. La masa pasa por la posición de equilibrio cuando x(t)=0, es decir, cuando cos(t)=0, lo cual ocurre cuando
10t=π2+nπ,con n=0,1,2,…, donde, t=2n+1π20, con n=0,1,2,…
d. la máxima comprensión se obtiene cuando cos 10t=-1.
En este caso 10t=π+2nπ⟹t=2n+1π20, con n=0,1,2,….
La máxima elongación ocurre cuando cos10t=1, es decir, 10t=2nπ; esto sucede en los...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.