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Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

4.

FUNCIONES COMO MODELO MATEMÁTICO

El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas.
Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos
un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por
último, se interpreta esta respuesta matemática entérminos del problema original.
En esta sección trataremos solo el primer paso. De hecho, nuestra atención se
enfocará a la determinación de la función o las funciones que involucran los problemas
verbales.
La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema
es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos
algunos ejemplos tomados endiferentes campos.
Ejemplo 4.1
Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por
cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número
de horas estacionadas.
Solución:
Si x representa el número de horas estacionadas, entonces la cuota de
estacionamiento F estará dada por la fórmula E = 50 – 25(x-1), donde x es un entero
positivo.Ejemplo 4.2.
x
De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm. de ancho
se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia
arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar el
25 – 2x
área de la sección transversal del canalón para lluvia
como una función de su altura.
Solución:
Si representamos por x la altura en cm. del canalón para lluvia, podemos expresar el
área de la seccióntransversal A en cm2 por medio de la fórmula A = x(25 – 2x)
Ejemplo 4.3
Se sabe que 100 gramos de granos secos de soya contienen 35 gr. de proteínas y
100 gr. de lentejas secas contienen 26 gr. de proteínas. Los hombres de talla media que
viven en un clima moderado necesitan 70 gr. de proteínas en su alimentación diaria.
Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr. de proteínas comiendosoya
y/o lentejas. Sea x la cantidad de soya e y la cantidad de lentejas diarias (x e y medidas
en gr.) ¿Cuál es la relación entre x e y?
Solución:
La proteína ingerida por medio de la soya es 35x y por las lentejas 26 y por día
(ambas medidas en gr.). La cantidad diaria total de proteínas es 70 gr. Por tanto
obtenemos la ecuación
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Dr. José Luis Díaz Gómez

Departamento deMatemáticas. Universidad de Sonora

35x + 26y = 70
(1)
Reordenando los términos podemos expresar y como función de x:
35
70
(2)
y=−
x+
26
26
Es claro que el dominio y el rango son x ≥ 0 e y ≥ 0. Una ecuación como la (1) se llama
función implícita y una ecuación como la (2) función explícita.
Ejemplo 4.4.
Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 30metros cuadrados, exprese la longitud de la cerca como una función de la longitud del
lado no cercado.
Solución:
Es natural empezar por introducir dos variables, digamos x, y, y, para denotar las
longitudes de los lados del lote. (Figura). Entonces.
Longitud de la cerca = x + 2y
Como queremos la longitud de la cerca expresada como una
función de x solamente, debemos encontrar una forma deexpresar y en términos de x; es decir, debemos encontrar una
ecuación que relacione a x, y, y. El hecho de que el área sea
de 30 metros cuadrados nos proporciona la ecuación.
Específicamente,

y

y
x

xy = 30
Resolviendo esto para y obtenemos
y = 30/x
que reemplazamos entonces en la fórmula de la longitud de la cerca. Esto da
f(x) = x + 60/x
en donde f denota la longitud de la cerca.La función f(x) está definida para todos los valores de x excepto x = 0 y representa la
longitud de la cerca si x es positiva.
Ejemplo 4.5.
Una huerta de manzanos tiene 40 hectáreas por hectárea y el promedio de producción es
de 300 manzanas por árbol y por año. Si por cada árbol que se plante por hectárea,
además de los 40, la producción promedio disminuye en 5 manzanas, exprésese la...