Funcion De Green

Funcion de Green
Tibor Heumann 15 de noviembre de 2008

1.

Funcion de Green

La funcion de Green es para resolver ecuaciones parciales inhomogeneas. A diferencia de la funcion de Green para cuerdas para sonido la ecuacion es en 3 dimensiones por lo que la funcion de Green cambia. En este caso la ecuacion que queremos resolver es:
2

Φ(r, t) −

1 ∂ 2 Φ(r, t) = −f (r, t) c2 ∂t2

(1)1.1.

El origen del termino inhomogeneo

Primero hay que ver de donde sale el termino inhomogeneo de la ecuacion, f (r, t). Para deducir la ecuacion de onda necesitamos 4 ecuaciones, ademas de recordar que se esta resolviendo para perturbaciones peque˜as. n Vamos a asumir que: p = p0 + p ρ = ρ0 + ρ v=v Donde las primas implican que son perturbaciones y por lo tanto muy peque˜as. Lasecuaciones que hay que n usar son (todo lo que no tiene subindice 0 es porque deberia llevar una prima): v=− Φ p = c2 ρ 1 ∂ρ + ρ0 ∂t ·v = 0 p (2) (3) (4) (5)

∂v 1 =− ∂t ρ0

Estas ecuaciones viene de: (2)Suponer que el fluido is irrotacional (3)Ecuacion de estado (4)Conservacion de masa. En realidad esta es una ecuacion linealizada, si el fluido se moviera con velocidad 1 u constante, habria queagregar un termino ρ0 u· ρ. Escriban la ecuacion de continuidad a primer orden para verificar (primer orden significa que dos terminos con prima multiplicandose se desprecian). (5)Equilibrio de fuerzas. En este caso se agrega un termino u· v al lado izquierda. . Por lo tanto si agregamos una fuerza externa al fluido se agrega a la ecuacion (5) de la forma: ∂v 1 =− ∂t ρ0 p+ 1 fext ρ0 (6)

1

donde lafext es fuerza por unidad de volumen. Sin mucha de perdida de generalidad podemos suponer que la fuerza se puede escribir como el gradiente de un potencial. fext = − ψ Asi rededuciendo la ecuacion de onda con la ecuacion (6) en vez de la (5). ec (2) en (5) 1 ∂Φ 1 = p+ ψ ∂t ρ0 ρ0 derivando esta ecuacion con respecto al tiempo 1 ∂p ∂2Φ 1 ∂ψ = + ∂t2 ρ0 ∂t ρ0 ∂t ec (3) en (4) 1 ∂p 1 ∂p + ·v = 2 − 2Φ =0 c ρ0 ∂t 0 ∂t reemplazando esta ecuacion en la que encontramos anteriormente: c2 ρ ∂2Φ (x, t) = c2 ∂t2
2

Φ(x, t) +

1 ∂ψ (x, t) ρ0 ∂t

De aca se ve que al imponer una fuerza externa en el sistema aparece una ecuacion inhomogenea como la que planteamos al principio (llegamos a que −f (r, t) = c21 0 ∂ψ (x, t) ). Me imagino que hay mas formas de ρ ∂t hacer aparecer un termino de ese estilo,como una fuente externa de fluido, habria que agregar un termino a la conservacion de masa. La ecuacion de onda para cuando hay una velocidad constante u es: (
2

−

1 ∂ ( + u· )2 )Φ(x, t) = 0 c2 ∂t

Hay muchos problemas en el Fetter que incluyen esta ecuacion, asi que peguenle una ojeada. La deduccion es igual solo que hay que agregar los terminos que faltan en la ecuacion (4) y (5).1.2.

Para que sirve la ecuacion de Green
2

1 ∂ 2 G(r, r , t, t ) = −δ(r − r )δ(t − t ) c2 ∂t2 Supongamos que conocemos G(x,x’,t,t’). Entonces la solucion a la ecuacion (1) es: G(r, r , t, t ) − Φ(r, t) = G(r, r , t, t )f (r , t ), dt dr
2

(7)

∂ La demostracion es simple, basta aplicar el operador 2 − c1 ∂t2 a ambos lados de la ecuacion, y recordar 2 que el operador actua sobre lasvariables sin primas. Asi queda: 2

Φ−

1 ∂2Φ = c2 ∂t2

(

2

−

1 ∂2 )G(r, r , t, t )f (r , t ), dt dr c2 ∂t2

Como el operador actua solo sobre las variables sin prima actua sobre G(r,r’,t,t’) y no sobre f(r’,t’). Recordando la ecuacion (7) queda:
2

Φ−

1 ∂2Φ = c2 ∂t2

−δ(r − r )δ(t − t )f (x , t ), dt dr = −f (r, t)

Por lo que si conocemos G(x,x’,t,t’) conocemos la solucionpara cualquier ecuacion inhomogenea, basta integrar.

2

1.3.

Funcion de Green para un medio Infinito

No pude encontrar problemas razonables, tipo control, por lo que les voy a poner un resumen de lo que deberian saber. La ecuacion de Green para un medio infinito es: ˜ ˜ G(p, ω) = p2 1 −
ω2 c2

e c ˜ G(r, ω) = 4πr 1 ˜ G(r, t) = e−iωt G(r, ω)dω 2π Donde las tilde significa que son...