funcion modulo

MATEMÁTICA II -

4to.

Revisamos el concepto de “valor absoluto de un número real”: es su valor numérico sin tener en
cuenta su signo, sea este positivo o negativo. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. ... (o
sea que la distancia al 0 es la misma tanto para 3 como para -3)
El valor absoluto se escribe entre barras, ejemplo: |-5| = 5 ; |5| = 5
Las funciones en valorabsoluto se transforman en funciones por partes, siguiendo los siguientes
pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se
cambia el signo de la función.
4. Representamos lafunción resultante.
Paso 1:
Ejemplo:
Paso 2:
Paso 3:
abertura

Paso 4:

vértice

EN GENERAL LA FORMA DE LA FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO ES:

f(x) = a | x + h| + k
Su vértice tiene por coordenadas: V = (-h;k)
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN:
“a”
nos indica la abertura (más abierta o más cerrada) y si el vértice es mínimo o máximo.
“h”
nos indica el desplazamiento horizontal
“k”
nos indicael desplazamiento vertical.
5

Así, si tomamos como referencia: f(x) = |x| a = 1; h = 0 ; k = 0
- Si |a| > 1⇒ las ramas de la gráfica se “cierran”
Ej.: f1 (x) = 3 |x|
- Si |a| < 1⇒ las ramas de la gráfica se “abren”
Ej.: f2 (x) = 1/3 |x|

f1(x)

4

f(x)

3
2
1
-5

-4

-3 -2 -1

0
-1

f2(x)

1

2

3

4

5

El valor de a se representa teniendo en cuenta lo vistoen la función lineal, en cuanto a la pendiente, ejemplos si a= ½, corremos 2
para la derecha y 1 para arriba; si a= -3, corremos 1 para la derecha y 3 para abajo.
Completa:
Con respecto a f1 (x): Dominio= …………
Imagen= ………….
C+ = ………. C- = ………..
Raíz= ………..Intervalo de crecimiento = …….. Intervalo de decrecimiento = ……….
Con respecto a f2(x): Dominio= …………
Imagen= ………….
C+ = ………. C- =………..
Raíz= ………..
Intervalo de crecimiento = …….. Intervalo de decrecimiento = ……….
Además:
- Si a(+)

a > 0⇒la gráfica tiene mínimo

- Si a (-)

a < 0⇒la gráfica tiene máximo

Ej.:

4

f3(x)

3

Tiene
mínimo

2
1

f3 (x) = 2 |x| ; a > 0
-5

f4 (x) = -2 |x| ; a < 0

-4

-3 -2 -1

Tiene
máximo

Completa:
Con respecto a f3(x): Dominio= ……
Imagen= ……….
C+= ………. C-=………..Raíz= ………..
Intervalo de crecimiento = …….. Intervalo de decrecimiento = ……….

0
-1

1

2

3

4

5

-2
-3

f4(x)

Con respecto a f4(x): Dominio= …………
Imagen= ………….
C+ = ………. C- = ………..
Raíz= ………..
Intervalo de crecimiento = …….….. Intervalo de decrecimiento = …..…….
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MATEMÁTICA II -

4to.

Con respecto al valor de “h”
* Si h (-)⇒ la gráfica se desplazahacia la derecha

3
2
f6(x)

* Si h (+)⇒

Ej.: f5 (x) = | x – 2|
f6 (x) = | x + 4|

-4

-5

V = ( 2; 0)

f5(x)

1

la gráfica se desplaza hacia la izquierda
-3 -2 -1

0
-1

2

1

3

4

5

V = (-4;0)

Con respecto a f5(x): Dominio= …………
Imagen= ………….
C+= ………. C-= ………..
Raíz= ………..
Intervalo de crecimiento = ……….... Intervalo de decrecimiento = ……..….Imagen= ………….
C+= ………. C-= ………..
Con respecto a f6(x): Dominio= …………
Raíz= ………..
Intervalo de crecimiento = ……….. Intervalo de decrecimiento = …..…….
4 f7(x)

Con respecto al valor de “k”
* Si k(+)⇒ la gráfica se desplaza hacia arriba
* Si k (-)⇒

3
2
1

la gráfica se desplaza hacia abajo

Ej.: f7 (x) = |x| + 2

-3 -2 -1

V = (0 ; 2)

f8 (x) = |x| - 1

f8(x)

0
-1

1

23

V = (0 ; -1)

Con respecto a f7(x): Dominio= ………
Imagen= ……. C+= ……….
C = ……….. Raíz= …….. Intervalo de crecimiento = …….. Intervalo de decrecimiento = …….
Con respecto a f8(x): Dominio= ………
Imagen= ……. C+= ……….
C-= ……….. Raíces= …….. Intervalo de crecimiento = …….. Intervalo de decrecimiento = …….
Ahora veamos 2 ejemplos con todos los elementos:
* f9 (x) = 1/3 |x +...