Funciones de variable real

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. UN REPASO DE LOS
NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números naturales (también llamados enteros positivos)
IN = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
La suma a + b y el producto a b de dos números naturales
cualesquiera también es un número natural.
El conjunto IN de los números naturales es cerrado para las
operaciones suma yproducto de números.
Sin embargo en el conjunto de los números naturales IN:
No puedo quitarle (restar) 5 a 2
No puedo dividir 2 en 5 partes

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los enteros negativos y el cero surgen para resolver
ecuaciones tales como x + 5 = 2 no resolubles para números
naturales.
El conjunto de los enteros positivos, los enteros negativos y
el cero forman el conjunto de los númerosenteros.
Z = {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}.
El conjunto Z es cerrado para la suma, para la resta y para
el producto.
N

Z.

Sin embargo, en el conjunto de los números enteros Z:
No puedo dividir 2 en 5 partes

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números racionales surgen para permitir resolver
ecuaciones como 5x = 2; o ,en general, bx = a con b 0 que no
se pueden resolver en el conjunto de losnúmeros enteros.
Podemos definir el conjunto de los números racionales como:

Q
Q

a
: a Z, b Z, b 0
b

conjunto de los números decimales periódicos.
2
5

0,4;

0,3

3
10

2
3

0,6666...;

0,121212.. .

12
;
99

16
1,230769230769230769...
13

1,857142857142...

El conjunto Q es cerrado para la
suma, para la resta, para el producto
y para la división.

N

Z13
7

Q.

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números irracionales tales como:

2, , 3 5, e,

son números que NO pueden expresarse como a/b para a
b Z, b 0.
Escribiremos este conjunto de números como II:
II

conjunto de los números decimales no periódicos.

Por ejemplo:

2

1,41421356237309504880168872420

;

= 3,1415926535897932384626433832795...;
e =2,7182818284590452353602874713527...; ...

Z,

CONJUNTOS NUMÉRICOS
La unión disjunta del conjunto de los números racionales y del
conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los
números reales
IR = Q

II

Reales = Racionales

Irracionales

Los números reales se pueden representar en una recta sin
dejar agujeros, que llamaremos la recta real.

Hay una correspondencia biyectiva entre elconjunto de los
números reales y el conjunto de los puntos de la recta
geométrica. A cada número real le corresponde un punto de
la recta geométrica y a cada punto de la recta geométrica un
número real.

DEFINICIÓN DE IR
En IR hay dos operaciones internas la suma y el producto.
(una operación interna hace corresponder a cada par de
números reales otro número real)
IR con dichas operacionespresenta estructura de cuerpo
conmutativo puesto que verifica las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma:
1) Conmutativ a

,

2) Asociativa

, ,

IR;

IR ; (

)

(

)

3) Existencia de un elemento neutro :
0 IR,

IR;

0 0

4) Para cada número real existe un opuesto :
IR,

IR;

(

) (

)

0

DEFINICIÓN DE IR
Propiedades de la multiplicación:

5)Conmutativa

6) Asociativa

IR;

,

IR; (

, ,

)

(

)

7) Existencia de un elemento unidad :
1 IR,
IR; 1 1
8) Todo número real distinto de 0 tiene inverso :
1
IR,
0,
IR;

1

1

1

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma

, ,

IR; (

)

ORDEN EN IR
El conjunto de números reales a la derecha de 0 son los
números positivos (P). Elconjunto de números a la izquierda de
0 son los números negativos. El número 0 no es ni positivo ni
negativo (o es ambas cosas).
a>b

a–b

a a (b está situado a la derecha de a)

a b

P (a está situado a la derecha de b)

a bóa

b

a b

a bóa

b

ORDEN EN IR

Propiedades:

1) a b ó a

bóa

2) a b y b
3) a b

c
a

b
a

c

c

b c para cualquier c

4...