Funciones especiales

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Funciones especiales
En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis
matemático.
Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.
Función constante
El caso especial: f ( x ) = a0 , con a0 ∈ R es una función polinomial de grado cero, conocida como
función constante.
En este caso, f enrealidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.
Por ejemplo, si nosotros asignamos x = 2, la máquina siempre nos devolverá el valor a0 . Y ese
mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a x. Por eso no los transforma.
Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente
te devuelve siempre el mismo valor.Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de f ( x ) no cambia:
f (x)

f ( x ) = a0

a0

La Función
Constante

−2

−1

x
1

2

3

4

Observa que la función no involucra a la literal x, pues los valores que nos devolverá f no dependen de ninguna manera de los valores x que nosotros le vayamos dando.
También es una buena idea notar que la gráfica de estafunción corta al eje vertical (y) en y = a0 .
Esto es obvio, puesto que f ( x ) siempre es igual a a0 , independientemente del valor del x que
nosotros asignemos. En particular, cuando x = 0, y = f ( x ) = a0 . Por eso la ordenada al origen de
esta función es el punto (0, a0 ).
Funciones escalonadas
Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones.
En elejemplo estudiado en la sección ??, página ??, se explica un ejemplo que muestra una tabla
con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos.
Peso (gr)
0 < p ≤ 100
100 < p ≤ 200
200 < p ≤ 300
300 < p ≤ 400
400 < p ≤ 500

Importe ($)
12.50
19.00
25.25
31.50
37.50

Peso (gr)
500 < p ≤ 600
600 < p ≤ 700
700 < p ≤ 800
800 < p ≤ 900
900 < p ≤ 1000www.aprendematematicas.org.mx

Importe ($)
43.50
49.35
55.20
61.00
66.50
1/5

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada:
I ($)
70
60
50
40
30
20
10
p (gr)
1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

En el ejemplo mencionado se explica por qué esta relación sí es una función.
Además, se trata de una funciónescalonada.
Grafica la función piso, que se denota por: y = x , y que se define como sigue:
Ejemplo 1

x = mayor entero ≤ x

• Por ejemplo, π = 3, porque 3 es el número entero más grande que es menor que π ≈
3.141592654 · · · .
√
√
•
26 = 5, porque 5 es el número entero más grande que es menor que 26.
• Considerando que e = 2.718281828 · · · , entonces, e = 2.
√
2
◦ = 0, porque sin 45◦ =
•sin 45
≈ 0.7071067812 · · · .
2
√
3
◦ = 0, porque cos 30◦ =
• cos 30
≈ 0.8660254 · · · .
2
• Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un
entero.
• Otra forma de definir la función es: «es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del
punto decimal del número».
• La gráfica de esta función es la siguiente:www.aprendematematicas.org.mx

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

y
7
6
5
4
3
2
1
x
2

1

3

5

4

6

7

8

9

10

• ¿Puedes justificar por qué está definida en el punto (k, k + 0.5) (k ∈ Z) a partir de la definición?

Otra función escalonada es la función cielo que se denota por f ( x ) = x , y que se define por:
x = menor entero ≥ x
Por ejemplo π = 4, porque 4 es el menor númeroentero que es mayor que π.
Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función.
Funciones compuestas
La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas.
(a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función.
(b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función.
Considera la función:
y = 2x+

√

x

Ejemplo 2...