Funciones Reales De Una Variable Real.

Funciones reales de una variable real. Generalidades


Primeros conceptos
Funciones. Clases particulares de funciones

Recordemos que una aplicaci´n f : A → B se define en t´rminos conjuntistas como una o e terna (A, B, Gf ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y Gf , denominado gr´fico o gr´fica de f , es un subconjunto a adel producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento unico y ∈ B de modo ´ que (x, y) ∈ Gf (ese elemento y un´ ıvocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicaci´n f en el punto x o imagen de x por f ). o Definici´n 2.1.1. Una funci´n (real de variable real) es una aplicaci´n f : A → B con A, o o o B ⊆ R. Informalmente, dar una funci´n f suponedar: o a) su dominio de definici´n A = dom f ; o b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atenci´n en este curso); o c) una regla de correspondencia o regla de definici´n que permita asignar inequ´ o ıvocamente a cada elemento x de A, sin excepci´n, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por o x y f. Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final ola “regla de definici´n”) hace que la funci´n cambie. Por ejemplo, si tenemos una funci´n f : A → B y consideramos o o o un subconjunto S de A, la restricci´n de f a S es la funci´n f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) o o para cada x ∈ S, que no es la misma funci´n f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada o por “la misma regla de correspondencia” (a cada x de S, la restricci´n f |S hacecorresponder el o mismo valor que f ). En la pr´ctica raras veces se muestra una funci´n como una terna, tal como requerir´ su a o ıa definici´n formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor o de la funci´n en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [Bartle-Sherbert, Sec. 1.2, o especialmente p´gs. 22-25]). En cuanto al conjunto final de unafunci´n, cuando no se mencione a o expl´ ıcitamente se sobrentender´ que dicho conjunto es R. a Suele chocar al principiante que a veces la regla de definici´n de una funci´n aparece dividida en o o varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante f´rmulas), tendiendo a interpretar o 13

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CAP´ ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

incorrectamente que se han definido tantas funciones comosubreglas se enuncien. Por ejemplo, la funci´n f : R → R tal que o x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0, es una sola funci´n, la funci´n valor absoluto , y no dos funciones, aunque sus valores coincidan o o en parte de su dominio (¡no en todo!) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una funci´n f , emplearemos la expresi´n f est´definida en S como sin´nimo de S es un o o a o subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, “el mayor subconjunto de R en el que f est´ definida”. a Ejercicio. Estudiar si son o no iguales las funciones f : R → R, g : R → R dadas por f (x) = 2x; g(x) = |x − 1| + |x + 1|.

¿Cambia la respuesta si comparamos las restricciones de f y g al intervalo [1, +∞)? ¿Y comparando las restricciones aotros subconjuntos de R? Definici´n 2.1.2. Sea f una funci´n con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto o o imagen de S por f al conjunto f (S) = {f (x) : x ∈ S}, y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T }, que ser´ un subconjunto (eventualmente vac´ de A. a ıo) El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rangode f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = {f (x) : x ∈ dom f } . Una funci´n f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre im´genes o a distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y); o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y. Una funci´n f : A → B se dice...