Funciones Reales De Varias Variables

Tema 1

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Tema 1: Funciones reales de varias variables
1. Funciones de varias variables 2. Dominio y curvas de nivel 3. Límites y continuidad de funciones de varias

variables

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Nociones topológicas en  n .  n=1,  es la recta real unidimensional

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Nociones topológicas 2  n=2,  es el plano real
n = 2 →  2 =  ×  ={( x1 , x2 ) : xi ∈ , i =1, 2}

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Nocionestopológicas 3  n=3,  es el espacio real tridimensional

n = 3 → 3 =  ×  ×  = {( x1 , x2 , x3 ) : xi ∈ , i =1, 2,3}

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Nociones topológicas  En general, para n =  , es un espacio real
n-dimensional
n
n

 =  ×  ××  = ( x1, x2 ,, xn ) : xi ∈ , i = 1,2,, n
 Vector en

{

}

n

 = x

( x1, x2 ,, xn )

 x1     x2  →      xn   

Operaciones con vectores
 Suma de vectores

   n  x, y ∈  , x ( x1, x2 ,, xn ) , y ( y1, y2 ,, yn ) = =   x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 ,, xn + yn )



Operaciones con vectores
 Producto de un escalar por un vector

 λ x λ= ( x1, x2 ,, xn )

 n  λ ∈  y x ∈  , x = ,, xn ) ( x1, x2

( λ x1, λ x2 ,, λ xn )

   z = α ⋅ x + β ⋅ y ∈ n



Operaciones con vectores
  z = α ⋅ x + β ⋅ y ∈ n    z = α ⋅ x + β ⋅ y = α ⋅ ( x1 , x2 , , xn ) + β ⋅ ( y1 , y2 , , yn ) =
 Combinación lineal de dos vectores

(α ⋅ x1 + β ⋅ y1 ,α ⋅ x2 + β ⋅ y2 ,,α ⋅ xn + β ⋅ yn )



Operaciones con vectores
 Producto escalar de dos vectores    n  x , = ( x1 , x2 , , xn ) , y ( y1 , y2 , , yn ) y∈ ,x =

 y1       y2  = x ⋅ y + x ⋅ y +  + x ⋅ y x ⋅ y = (x1 , x2 , , xn ) n n    1 1 2 2    yn 



Operaciones con vectores
 Norma euclídea  n  x ∈  , x =2 ,, xn ) ( x1 , x

 2 x = x12 + x12 +  + xn = + +

xi2 ∑
i =1

n

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Operaciones con vectores
 Norma euclídea  Propiedades    x ≥ 0 y x = 0 ⇔ x = 0. 1. 2. 3. 4.

  λx = λ x .     x+y ≤ x + y.    x  = 1, ∀x ≠ 0. x



Operaciones con vectores
Distancia euclídea
   n , x x, y ∈ =     d ( x, y ) = x − y =  = x1 ,, xn ) , y (
2

( y1 ,, yn )
2

( x1 − y1 )

+  + ( xn − yn ) =

∑( x − y )
i =1 i i

n

2



Operaciones con vectores
 Distancia euclídea  Propiedades

  1. d ( x , y ) ≥ 0.     2. d ( x , y ) = 0 ⇔ x = y.     3. d ( x , y ) = d ( y, x ).
4.

      d ( x, y ) ≤ d ( x, z )+ d ( z , y ).

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Bolas en n

  Bola abierta con centro en x0 ∈  n y radio r ∈
    n B ( x0 , r ) =d ( x, x0 ) < r x ∈ :

{

}

  Bola cerrada con centro en x ∈  n y radio r ∈
    n B ( x0 , r ) =d ( x, x0 ) ≤ r x ∈ :

{

}



Bolas en n
 n=1
 B ( x0 , r ) = { x ∈  : d ( x, x0 ) < r} = ( x0 − r , x0 + r )  n= 1 ⇒   B ( x0 , r ) = { x ∈  : d (x, x0 ) ≤ r} = [ x0 − r , x0 + r ] 

B ( x0 , r ) B ( x0 , r )

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Bolas en n
 n=2
 = a

( x0 , y0 ) , r ∈  ⇒

     B ( x , r ) = { x ∈  2 : d ( x , x ) < r} = 0 0        B ( x0 , r ) = { x ∈  2 : d ( x , x0 ) ≤ r} = 

{  x = ( x, y ) ∈  {

 2 2 x = ( x, y ) ∈  2 : ( x − x0 ) + ( y − y0 ) < r 2
2

: ( x − x0 ) + ( y − y0 )
2

2

} ≤r }
2

 B (x0 , r )

 B ( x0 , r )


 x0

Bolas en n
 n=3
( x0 , y0 , z0 ) , r ∈  ⇒

     B ( x , r ) = { x ∈  3 : d ( x , x ) < r} = 0 0        B ( x0 , r ) = { x ∈  3 : d ( x , x0 ) ≤ r} = 

{  { x = ( x, y , z ) ∈ 

 2 2 2 x = ( x, y, z ) ∈  3 : ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) < r 2
3

: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 )
2 2

2

} ≤r }
2

 B (x0 , r )

 B ( x0 , r )

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Definiciones topológicas. Sea A ⊂ n
 Conjunto complementario  Punto interior
A c = x ∈  n x ∉ A = n − A

{

}

 x0 ∈ Int ( A ) ⇔ ∃r > 0 : B ( x0 ,r ) ⊆ A

 Punto exterior   x0 ∈ Ext ( A ) ⇔ ∃r > 0 : B ( x0 ,r ) ∩ A = ∅  Punto frontera
   x0 ∈ Fr ( A ) ⇔ ∀r > 0 : B ( x0 ,r ) ∩ A ≠ ∅ ∧ B ( x0 ,r ) ∩ Ac ≠ ∅

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Definiciones topológicas...