Funciones vectoriales de una variable real



























Funciones vectoriales de una variable real





Profesora: Alumnos:





Ciudad Guayana, Julio 2014
Definición de función vectorial de una variable real, dominio y grafica

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:Donde x (t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

La función vectorial también se puede encontrar representada como 𝑓 (𝑡).

Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:




Dominio

El dominio de una funciónvectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:




Representación Gráfica

La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.












Un punto de la curva Ctiene la representación cartesiana (x,y,z) donde:

𝑥=𝑓1 𝑡 𝑦=𝑓2(𝑡) 𝑧=𝑓3(𝑡)

Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.


Límites y Continuidad
Limite

Dada una función vectorial 𝐹 (𝑡) =(𝑥 (𝑡) ,𝑦 (𝑡) ,𝑧(𝑡)




Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector 𝐹 (𝑡) seacerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.






Continuidad

Sea :𝐴→ℝ𝑛 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴⊆ℝ.


𝐹 𝑡 es continua en a sí y sólo si:

- Existe el vector 𝐹 (𝑎)
- Existe el lim𝑡→𝑎𝐹 (𝑡)
- lim𝑡→𝑎𝐹 (𝑡) = 𝐹 (𝑎)

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t= a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades

Sea la función vectorial 𝐹 (𝑡) entonces diremos que 𝐹 ′ (𝑡) es la derivada de dicha función y se define mediante:





Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t=a se dice que 𝐹 (𝑡) es derivable en t = a.Teorema: Sea 𝐹 𝑡 una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces 𝐹 𝑡 es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:







Propiedades

Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular.

Al vector 𝐹 (𝑡) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores 𝐹 ′(𝑡) y 𝐹 ′′(𝑡) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la rapidez en uninstante t es 𝐹 ′(𝑡) , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t, y el vector

𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜


Integración de funciones vectoriales

La función vectorial 𝐹 (𝑡) es una antiderivada de la función vectorial 𝑓 (𝑡), siempre y cuando



IntegralIndefinida

Si 𝐹 (𝑡) es cualquier antiderivada de 𝑓 (𝑡), la integral indefinida de esta se define como



Donde c es un vector constante arbitrario.






Vectores Posición, velocidad y aceleración

















Curvas Parametricas



x = 2t − 2 sen t
y = 2 − 2 cost
cicloide
t ∈ [−4π , 4π ]


x = sen3 t
astroide
y = cos3 t
t ∈ [0, 2π...