Funciones vectoriales



Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada Bolivariana
UNEFA- Núcleo Aragua.






Matemática III










Profesor(a): Estudiante:Angie Barillas

1) Función Vectorial:

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:


Donde x (t), y (t) y
z (t) son funciones reales de variable real.

Así,se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t),y(t) y z(t); y además su derivada y su integral se calculan del siguiente modo:

Algunas reglas de derivación de estas funciones relacionadas con las operaciones entre vectores son las siguientes:
(Suponemos que F y G son dos funciones vectoriales, u es una función real de variable real y λ ∈ R):



Se ve fácilmente, que todas son“heredadas” de las reglas de derivación de las funciones reales de variable real.

Lo mismo ocurre con las integrales:


2) Teorema de Stokes:

El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de lacomponente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S.

Teorema.
Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F(x,y,z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadasparciales continuas en alguna región abierta 3D ⊆ R3 0que contiene a S. Entonces:








3) Derivada de una función vectorial:

El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funcionesconstituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.

Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cadauna de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.

Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta función se denota como,

lim = [ (t + h) - (t)]/ h

Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto.

Hay ciertas cosas que deben tenerse encuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’.

2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo.

Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado.

Ahora diferenciemos una...