FUNCIONES

Según la gráfica











¿Existe f(1)? Si existe, ¿cuál es la imagen?
A pesar de que el punto (1,2) no hace parte de la función, en la gráfica podemos observar que en el punto x=1existe una imagen que corresponde a y=1.




Hallar lim┬(x→1)⁡〖f(x)〗
En la ampliación de la gráfica original podemos observar que mientras la función se acerca a 1 por la izquierda, la imagense acerca a 2. De forma análoga, mientras la función se acerca a 1 por la derecha, la imagen se acerca a 2. Expresado de otra forma:

lim┬(x→1^- )⁡〖f(x)=2〗 y lim┬(x→1^+ )⁡〖f(x)=2〗Luego por definición podemos afirmar que:

〖lim〗┬(x→1)⁡〖f(x)=1〗

¿La función es continua en x=1? Justifique.
Para que exista continuidad debemos verificar el cumplimiento de las siguientescondiciones:

CONDICIÓN OBSERVACIONES CUMPLIMIENTO
f(a)debe existir El literal a) explica que f(1) = 1. SI
〖lim〗┬(x→a)⁡f(x) debe existir El literal b) explica que
〖lim〗┬(x→1)⁡〖f(x)=2〗 SI〖lim〗┬(x→a)⁡f(x)=f(a) No se cumple. NO

En conclusión, podemos decir que la función NO es continua en x=1.

¿Qué valor debe asignarse a f(2) para que la función sea continua en este punto?

En la gráfica podemosobservar que a medida que la función se acerca a 2 por la izquierda la imagen se acerca a 0. Y mientras la función se acerca a 2 por la derecha, la función se acerca a 0. De tal forma que lascondiciones de continuidad quedan establecidas de la siguiente forma:


〖lim〗┬(x→a)⁡f(x) debe existir 〖lim〗┬(x→2^- )⁡〖f(x)=0〗

〖lim〗┬(x→2^+ )⁡〖f(x)=0〗

〖lim〗┬(x→a)⁡f(x)=f(a)

⇒f(2)=0

Enconclusión para que halla continuidad cuando x=2, f(x)=0.


Calcular 〖lim〗┬(x→0^+ )⁡f(x)
Podemos observar en la gráfica que a medida que la función se acerca a 0 por la derecha, la imagen se acerca cadavez más a 0.
Por lo tanto
〖lim〗┬(x→0^+ )⁡〖f(x)=0〗

Calcular 〖lim〗┬(x→0^- )⁡f(x)

Podemos observar en la gráfica que a medida que la función se acerca a 0 por la derecha, la...