funciones

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FUNCIONES
Muchas cantidades dependen de otras por ejemplo:
1.- Los costos totales de producción, c, dependen de la cantidad de artículos a producir, q.
2.- El nivel de contaminación en una determinada región puede depender del número de vehículos
circulando en la vía.
3.- El área de un círculo depende del radio.
4.- La presión depende de la temperatura.
Para describir como unacantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de
función.
Una función tiene tres partes: Dos conjuntos A y B, no vacios, y una regla que relaciona
dichos conjuntos. Más precisamente:
Definición.- Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada
elemento de A exactamente un elemento de B. El conjunto A se denomina dominio de la función y
el rango de lafunción es un subconjunto de B formado por todos los valores asignados.
Aun cuando el dominio puede ser cualquier colección de objetos: personas, ciudades, etc., aquí
sólo consideraremos subconjuntos de R.
Una variable que represente los valores del dominio x se llama variable independiente y la
variable dependiente y es la que representa los valores del conjunto B, ya que su valor depende delvalor de la variable independiente.
Una forma de dar la relación entre A y B es través de ecuaciones o fórmulas, las más usuales
son donde explícitamente se indique como obtener y a partir de x. Por ejemplo y = x 2 + 2 x − 1 . A las
funciones se les suele colocar nombres, es frecuente usar las letras f, g, h, F, G. Podemos, por ejemplo,
llamar f a la función que relaciona R con R mediante laecuación y = x 2 . Esta relación también la

podemos escribir como f ( x) = x 2 .

Para desarrollos teóricos usamos la
representación de diagramas como él que se
ilustra la figura.

Para indicar que f es una función con un
dominio A y codominio B se escribe:

f :A→ B

Si x está en el dominio de f entonces decimos que f está definida en x.

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En una función, un elemento deldominio se le asocia un solo elemento en el
rango. Sin embargo pudiera ocurrir que dos
elementos del dominio se le asocien el
mismo elemento del rango.

f (x) se lee f de x ó f en x ó f evaluada en x.

f (x) representa un valor del rango, éste es el valor de la función en el punto x. Por ejemplo si
f ( x) = x 2 , entonces
f (1) = 1
f ( 2) = 2 2 = 4
f (3) = 3 2 = 9
Tenemos que 1, 4 y 9son valores del rango de esta función. Si el dominio está dado por
todos los números reales entonces el rango son los reales no negativos.
Usted podrá observar que para evaluar una función en un valor simplemente hay que sustituir
la variable independiente por el valor.
Ejemplo 1.- Sea f una función cuyo dominio es R dada por f ( x) = x 2 − 3 x . Encontrar los siguientes
valores de f.Simplifique su respuesta.
a) f (−1) , b) f (b) y c) f (b + 1)
Solución :
a) Cuando tenemos que evaluar expresiones más complicadas recomendamos que el estudiante en un
principio piense la función como:

f(

)=(

) 2 − 3(

)

Es decir escriba paréntesis donde iba la x. Luego colocar dentro de cada paréntesis el valor a evaluar,
así por ejemplo f(-1) es

f (−1) = (−1) 2 − 3(−1)
.Realizando y simplificando queda f ( −1) = 12 + 3 . De aquí que f (−1) = 4
b) f (b) = b 2 − 3b

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c)Para evaluar la función en b+1, colocamos dentro de los paréntesis de f (

)=⎛
⎜
⎝

2

⎞ − 3⎛
⎜
⎟
⎝
⎠

⎞ la
⎟
⎠

expresión b+1:

f (b + 1) = (b + 1) − 3(b + 1) .
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Desarrollando tenemos:

f (b + 1) = b 2 + 2b + 1 − 3b − 3
Simplificando

f (b + 1) = b 2 − b − 2 .Ejercicio de desarrollo: Sea g una función cuyo dominio es R dada por g ( x) = 2 x 2 + 1 . Complete
los espacios vacíos en los siguientes desarrollos a fin de encontrar los siguientes valores de g: a) g(-3),
b) g(3t) y c) g(x+h)
Desarrollo:
a) g (

) = 2(

) 2 + 1 = ____ + 1 = 19 . Observe donde se ha colocado los paréntesis.

b)

g (____) = 2(____) 2 + 1 = 2 ____ + 1 = 18t 2 + 1 ....