Funciones

1

Cap´ ıtulo 6

Funciones Reales de Variable Real
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

2
Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, Lisseth Angulo. o ıa yWalter Mora. Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Sistema de Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Signo de las coordenadas de un punto, seg´n el cuadrante donde est´ . u e Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . o Funciones Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones Crecientes y Funciones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Ceros de una funci´n polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.7.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisi´n de Polinomios . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.8.1 Procedimientos para efectuar la divisi´n de A(x) por B(x) . . . . . . . o La Funci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.9.1 Gr´fico de una funci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o Trazo de la gr´fica de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Puntos deintersecci´n entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Distancia entre dos puntos de R × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´n cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Intersecci´n con el eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Estudio de la funci´n cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . o a Intersecci´n entre gr´ficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Problemas que se resuelven usando la ecuaci´n de segundo grado . . . . . . . o 6.17.1 Resoluci´n de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 6 7 19 22 25 29 32 3334 35 37 38 41 42 43 45 49 49 59 62 64

6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17

6.1

Producto Cartesiano

Definici´n 1 o Sean A y B conjuntos tales que A = ∅ y B = ∅. Se llama producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, al conjunto, {(a, b) tal que a ∈ A, b ∈ B}. O sea: A × B = {(a, b) tal que a ∈ A, b ∈ B} Ejemplo 1 Sean A = {1, 2} B = {1, 2, 3}. Entonces A × B = {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Ejercicios 1 3

4

Funciones

Sean A = {−1, 0} y B = {0, 1}. Determine B × A Sean X = √ 2, −1 , Y = {7}. Determine X × Y 3

Definici´n 2 o Sean A y B conjuntos tales que A = ∅ y B = ∅. Los elementos de A × B se llaman pares ordenados, por que si: a ∈ A, b ∈ B y a = b entonces (a, b) = (b, a). As´ con respecto al primer ejemplo, observe que: (1, 2)...