Funciones

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICA II

CICLO II - 2010

GRUPOS: 13, 17, 19 y 22.

UNIDAD I: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Documento preparado por:
Docentes del Departamento de
Matemática y EstadísticaAgosto de 2010

UNIDAD I: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

El filosofo Zenón de Elea era un aficionado a las paradojas acerca del movimiento. Su más famosa era parecida a ésta. El guerrero Aquiles acepta correr una carrera en contra de una tortuga. Aquiles puedecorrer 10 metros por segundo y la tortuga solo un metro por segundo, de modo que la tortuga tiene una ventaja de 10 metros de la línea de salida. Aun así, como Aquiles es mucho mas rápido debe ganar. Pero en el tiempo que él haya cubierto sus primeros 10 metros y llegado al lugar en donde la tortuga inició, la tortuga ya avanzó 1 metro y aun lleva la delantera. Y después de que Aquiles hayacubierto ese metro, la tortuga ha avanzado 0.1 metro y aun llevaría la delantera. Y así sucesivamente. Por tanto, Aquiles estaría cada vez más cerca de la tortuga pero nunca la alcanzaría.
Por supuesto que la audiencia de Zenón sabía que algo estaba mal en el argumento. Nosotros podemos escribir una ecuación algebraica con el avance total de Aquiles a la izquierda, el de la tortuga a la derecha y “t”,que representa el tiempo en segundos en los cuales Aquiles se empareja con la tortuga.

La solución es t=, tiempo en el que Aquiles ha recorrido
Lo que desconcertaba a Zenón y a sus escuchas es cómo podría ser que:
, en donde el lado izquierdo representa una suma infinita y el lado derecho es un resultado finito. La solución moderna a éste problema es el concepto de límite, que es el temaprincipal de ésta unidad.

1.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LÍMITES

Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemática, y tal cual está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento delcálculo. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.
La palabra límite a la que se hace referencia en este curso, tiene el mismo significado que se le da en el lenguaje cotidiano, como cuando se habla del límite de velocidad en la carretera, del límite de edad para poder obtener una beca, o máspropiamente cuando se hace referencia a un punto límite fronterizo entre dos países, punto al que se puede llegar partiendo desde algún lugar cualquiera de esos dos países.
Cuando se hace referencia al límite de una función de la forma , estamos hablando del valor al cuál se aproxima la variable dependiente “”, cuando la variable independiente “” toma valores muy próximos, tanto mayores como menores, aun valor dado .
Es de hacer notar que no interesa saber que pasa con la función cuando “” toma el valor de “”: puede o no existir, lo cuál no interesa para los objetivos de límite.
Por ejemplo, considere la función.Figura 1.1

Aunque esta función no está definida en , quizá desee conocer acerca del comportamiento de los valores de la función cuando se hace muy cercana a 1.
La tabla 1.1 da algunos valores de que son un poco menores y otros un poco mayores que 1, y sus correspondientes valores funcionales. Observe que cuando toma valores mas y mas próximos a 1, sin importar si se aproxima por la...