Funciones

1. Función Matemática
Se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x ∈ A uno y solo un elemento y ∈ B, llamado imagen de x por f, que seescribe y= f(x). En símbolos, A → B.
Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamaremos función o aplicación de A en B a toda relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y nada más uno.
Dados dos conjuntos A y B
f: A → B ⇔ f ⊆ A x B
a) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : (x, y) ∈ f
b) (x, y) ∈ f ∧ (x, y) ∈ f ⇒ y=z
En esta definición, la restricción de que no haya dos paresordenados diferentes con la misma primera componente, asegura que y es única para un valor especifico de x. los números x y y son variables. Puesto que los valores se asignan a x de manera arbitraria, y el valor de y depende de la selección de x, entonces x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
Simbólicamente, a las funciones se designa con letras minúsculas (e, f, g, h,…)y se les denota por:
f: A → B o bien A → B
que se lee: “Función del conjunto A en el conjunto B mediante f” o bien “f es una función de A en B”. f es la forma de relacionar ambos conjuntos, donde A y B son los conjuntos de partida y llegada, respectivamente.
Otro tipo de notación usada en ciencias e ingeniería es la siguiente:
y = f(x)
significa “y es la imagen de x mediante f”.

Ejemplo:f : Z → Z f(x) = 2 x
Si se quiere calcular la imagen de −3; entonces f(−3) = 2(−3) = −6.
−6 es la imagen de −3 ´o −3 es la preimagen de −6
Dominio: Z Codominio: Z

2. Elementos de una Función
2.1. Dominio
El dominio de una función está formado por los valores de x que hacen que y tome valores reales. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estasexpresiones: D(f), Dom(f).

2.2. Imagen o Codominio
La imagen es el conjunto final, recorrido o conjunto de llegada de una función f: X→Y es el conjunto Y que participa en esa función, y se denota Cod, o C, codom(f).

2.3. Rango, Recorrido o Contra dominio
Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estasexpresiones: R(f), Rango(f), Im(f).

2.4. Pre imagen
Se les llaman pre imágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio.

2.5. Pares Ordenados
Es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

3. Tipos de Funciones
3.1. FunciónCompuesta
Es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.
A g ∘ f se lellama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g.
En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@
Ejemplo:
Si f(x) = 2x2+1   y   g(x) = x -1 entonces
Primero actúa g
(f o g)(1) = f ( g(1) )
evaluamos 1 en g
g(1) = 1-1 = 0
valor de g en f
f (g (1) )=  f ( 0 )
evaluamos 0 en f
f ( 0 ) = 2 ( 0 )2 + 1 = 1
Finalmente (f o g )(1) = 1.
3.2. Función Par e Impar
En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Deben su nombre a...