Funciones

FUNCIONES

Def.: Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B, es una relación de A en B, tal
que: 1) xA, yB tal que (x, y)f.
2) (x, y); (x, z)f → y = z.

Nota: Toda función de A en B es una relación en la que se verifica que :
Todos los elementos de A tienen imagen en B.
La imagen de cada elemento de A es única.

Ej.: 1) Gráficos con círculos y flechas.
2) Seanlas relaciones de A={0, 1, 2} en B={3, 4, 5} definidas por:
f1={(0,4), (2,3)}
f2={(0, 3), (1, 4),(2, 5), (2, 4)}
f3={(0, 4), (1, 5), (2, 4)}
determinar cuales son funciones.

Notación: que f sea una función de A en B, se anotará: f : A→B; y que (x, y)f se hará y=f(x).
Las funciones sesuelen denotar por las letras: f, g, h,…….

Ej.: ¿cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
f : R→R g : R→R h : [1, [→R
f(x) = g(x) = h(x) = +

Obs.: 1) Si f : A→B denominaremos a: A: Dominio de f, y lo denotaremos Dom f
B: Codominiode f.
2) Si f(x) = y; “y” será la imagen de “x” por f, y “x” será la preimagen de “y” por f.
3) Si f : A→B e y = f(x), a “x” se le denominará: variable independ iente y
a “y”, variable dependiente.
4) Si f : A→B e y = f(x), el recorrido o rango de f se denota Rec f , y se define como:
Rec f = {yB /xA f(x) = y}.
(Nótese que Dom f = A y Rec f B).

Ej.: 1) Gráficoscon círculos y flechas.
2) Sea f : [-1,2]→R ; y = 3x2- 2 (Destacar la notación y = f(x))
i) Identificar Dom f y codominio de f.
ii) obtener las imágenes de: -1, 0, a3.
iii) calcular las preimágenes de: 5, -1, -3.
iv) hallar Rec f . (Dar la definición de Rec f, y despejar x en la definición de f paradeterminar las restricciones de y)
3) Sea g : R-{3}→R; g(x) = . Determinar Dom g , Rec g , g(x-1) y preimagen de 1/x
4) Sean h : R2→R; h(x, y) = 2x+3y ; y j : R→R2; j(x) = (x2, 2x+1).
Calcular las imágenes por h de: (0, 0), (1, 2), (2,1); y las preimágenes por g de: (0, 1), (1, 3)
(Destacar el dominio y codominio de estas funciones, el que nonecesariamente tiene que
ser R).





Def.: Sea f : A→B, A1A y B1B, entonces:
f(A1) = {yB/xA1 f(x) = y} se denomina imagen de A1 por f.
f-1(B1) = {xA/ yB1 f(x) = y} se denomina preimagen de B1 por f.

Ej.: 1) (Ilustrarlo con gráficos de círculos y flechas)
2) Sea f : R→R ; f(x) = 2x – 1. Calcular : f({0, 1, 2}), f([0,1]) y f(R+).
Soluc.: f({0,1, 2}) = {-1, 1, 3}, pués f(0)=-1, f(1)=1 y f(2)=3.
f([0,1])= {yR/x[0,1] y=2x-1}.
Como x[0,1] entonces 0 x1 / 2
0 2x2 /+(-1)
-1 2x-11-1 y 1
Luego: f([0,1]) = [-1,1].
f-1(R+) = {xR/yR+ y = 2x – 1}
y R+ → y > 0 → 2x – 1 > 0
x > .
Luego : f-1(R+) = ], +[ .
Def.: Sea f : A→B y g : C→Dfunciones.
Se dice que f y g son iguales, lo que anotaremos f = g, si :
i) A = C y B = D.
ii) xA; f(x) = g(x).

Def.: Sea f : A→B y g : C→D funciones.
Se dice que f es restricción de g o que g es extensión de f si:
i) AC o BD.
ii) xA; f(x) = g(x).

Ej.: Sean f : R→R; f(x) = 2x-1. g : [0,1]→R; g(x) = 2x-1. h : [0,1]→[-1,1] .
Determinar si algún par...