funciones

CAP´ITULO IV.
CONTINUIDAD DE
FUNCIONES

SECCIONES
A. Definici´on de funci´on continua.
B. Propiedades de las funciones continuas.
C. Ejercicios propuestos.

121

´ DE FUNCION
´ CONTINUA.
A. DEFINICION

Una funci´on y = f (x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el
l´ımite de la funci´on en el punto x = c y dicho l´ımite es f (c).
Esta definici´on da lugar a trescondiciones que debe cumplir la funci´on para
ser continua en c:
a) c est´a en el dominio de la funci´on.
b) existe l´ım f (x) (es decir, los l´ımites laterales son finitos e iguales).
x→c

c) l´ım f (x) = f (c).
x→c

Esto quiere decir que para que una funci´on sea continua no basta que tenga
l´ımite, sino que adem´as dicho l´ımite tiene que coincidir con el valor de la
funci´on en el puntocorrespondiente.
Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos
de discontinuidad dependiendo de la condici´on que no se cumple.
A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´on tiene
l´ımite pero no coincide con el valor f (c). Se llama evitable porque
basta definir f (c) como el l´ımite de la funci´on en c para que la funci´on
sea ahoracontinua.
B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando
existen los dos l´ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito
cuando alguno de los l´ımites laterales es infinito.
C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´ımites
laterales no existe.
Las operaciones algebraicas con funciones continuas dan como resultado
nuevas funcionescontinuas, salvo en la divisi´on por cero y las ra´ıces de
´ındice par de funciones que toman valores negativos.

PROBLEMA 4.1.

Estudiar la continuidad de la funci´
on f (x) =

122

x + |x|
.
2

Soluci´
on
Esta es una funci´on algebraica s´olo que el valor absoluto hace que cambie
la forma de la funci´on en el punto x = 0. Esto quiere decir que si x = 0, la
funci´on es continua.Para estudiar el comportamiento de la funci´on en x = 0, debemos calcular
los l´ımites laterales.
x + |x|
2
x + |x|
l´ım
2
x→0+

x−x
= 0,
2
x+x
= l´ım
= 0,
+
2
x→0

l´ım

=

x→0−

l´ım

x→0−

lo que indica que la funci´on tambi´en es continua en x = 0.
Podemos comprobar este resultado dibujando la gr´afica de la funci´on. Esta
es de la forma:
Y

y=x

y=0

XPROBLEMA 4.2.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando los
puntos de discontinuidad:
a) f (x) = [x2 ].
√
b) f (x) = [ x].
c) f (x) = [2x].
d) f (x) =

[x].

e) f (x) =

x − [x].

f) f (x) = [x] + [−x].

123

Soluci´
on

Sabiendo que la parte entera s´olo es discontinua en los enteros, los puntos
de discontinuidad son, respectivamente:
√
a) x2 = n⇐⇒ x = ± n con n ∈ N. (En x = 0 la funci´on es continua.)
√
b) x = n ⇐⇒ x = n2 con n = 0, 1, . . .
c) 2x = n ⇐⇒ x = n/2 con n ∈ Z.
d) Como el dominio de la funci´on es [0, ∞), los puntos de discontinuidad
son los enteros positivos.
e) Como x − [x] ≥ 0 para todo x, los puntos de discontinuidad son x ∈ Z.
f) Si n es cualquier n´
umero entero, los l´ımites laterales son
l´ım [x] + [−x] = n− 1 + (−n) = −1; l´ım [x] + [−x] = n + (−n − 1) = −1.

x→n−

x→n+

Como f (n) = 0 = −1, la discontinuidad es evitable en todo Z.

PROBLEMA 4.3.

Estudiar la continuidad de las funciones:
1
.
+1
1
b) f (x) = 2
.
x −1

a) f (x) =

x2

Soluci´
on

a) Como 1 + x2 = 0 no tiene ra´ıces reales, la funci´on es continua en todo
R.
b) Como la ecuaci´on x2 − 1 = 0 tiene ra´ıces x =1 y x = −1, la funci´on es
1
1
continua en R\{−1, 1}. Adem´as, como l´ım 2
= l´ım 2
= ∞,
x→1 x − 1
x→−1 x − 1
la funci´on presenta discontinuidades de primera especie infinitas en los
puntos x = −1 y x = 1.
124

PROBLEMA 4.4.

Estudiar la continuidad de las funciones
1
.
x
1
b) f (x) =
.
x−1

a) f (x) =

c) f (x) = x2/3 .
2
d) f (x) = x−1/3 .
3
1
e) f (x) = x ....