Fundamentos De Las Matemáticas

FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS

Lic. Gladys Cruz
PRÓLOGO
A través de los tiempos las ciencias de las matemáticas han surgido como una forma de resolver una gran diversidad de problemas de la humanidad.
Desde los inicios de las civilizaciones, cuando existía la necesidad de contar objetos, de expresar un valor numérico a esos objetos o de medir terrenos luego de desbordamientos de ríos,diversas ramas de las matemáticas como la aritmética y la geometría has sido las llamadas a contrarrestar esas dificultades.
A partir de estas matemáticas rudimentarias y su posterior formalización, la evolución de la llamada “ciencia exacta” ha venido de la mano con un sinnúmero de controvertidas discusiones referentes a su sistematización y su forma de explicar y demostrar todos los aspectos quetrae consigo.
El presente documento recopila la esencia de los principales métodos o escuelas metodológicas que desde los grandes filósofos de la antigüedad como Peano, Leibniz o Pitágoras hasta nuestras más brillantes mentes del pasado siglo han trabajado en la organización de los principios en que se fundamentan las ciencias de las matemáticas.
Esta versión de los Fundamentos de las Matemáticas,que usa como textos principales los libros “The Foundations of Mathematics” y “Fundamentos de la matemática” de Raymond L. Wilder y Alberto Dou S. J. respectivamente, sintetiza estos métodos enmarcándolos dentro de tres grandes escuelas que serán analizadas en capítulos por separado. En un primer momento se analiza el método axiomático seguido del logicista y concluyendo con el métodointuicionista.
Los métodos son desglosados de manera que los lectores puedan acceder fácilmente al contenido que deseen desde los inicios de las escuelas hasta su evolución y precursores, haciendo de este texto una excelente herramienta para el análisis y profundización de los fundamentos de las matemáticas.

Esteban Méndez R.

Introducción

En el s. XIX, a causa de ciertas contradicciones surgidasdentro de la matemática, se presentó la necesidad de llegar a una revisión de los fundamentos de esta ciencia, con objeto de establecerla sobre unas bases lógicamente inatacables. Tres direcciones distintas, e incluso opuestas, se han seguido con este fin: la escuela logicista, capitaneada por B. Russell; la escuela intuicionista, encabezada por L. E. J. Brouwer; y la escuela formalista, acaudilladapor D. Hilbert. Esta última escuela intenta basar toda la matemática en un sistema de axiomas fundamentales, por lo que también se la ha llamado escuela axiomática.
En un primer capítulo de esta investigación desarrolla la tendencia formalista que establece que la matemática está basada en una serie de axiomas y postulados. Este capítulo describe el contexto histórico axiomático así como laevolución, el concepto general, los tipos, los componentes, los modelos e interpretaciones, las propiedades, las pruebas de consistencia, la axiomatización formal, la axiomatización material y la metamatemática.
Cuando se cuestiona el valor de verdad de los axiomas y se estable el uso eminente de la deducción surge una nueva concepción de la matemática, esta es el logicismo, que pretendeestablecer la lógica como base principal de esta ciencia del saber. El segundo capítulo tiene como objetivo desmenuzar esta corriente haciendo mención de su concepto general, máximos representantes, logificación del concepto de número, teorías de conjuntos y las famosas paradojas que surgen en torno a las mismas.
Sin embargo surgen una tercera tendencia que gira en torno a la construcción, esta expresaque la matemática propiamente tal es construida por la intuición de nuestra conciencia, hablo del intuicionismo, desarrollado en el capitulo número tres, donde se hace mención de su desarrollo histórico, concepto, numero natural intuicionista, lógica y negación intuicionista, así como el principio de contradicción y del tercio exclusivo, y la comparación de esta corriente con las antes...