Fundamentos De Quimica Cuantica

Ecuacion de Schrodinger (II)
2
−
2μr 2

1 ∂ 2 ∂R(r )
1
∂
∂Θ(θ)
1
∂ 2 Φ(φ)
r
+
sen θ
+
2θ
R(r ) ∂r
∂r
Θ(θ) sen θ ∂θ
∂θ
Φ(φ) sen
∂φ2
ff
+V =E
2
́
Pasamos E a la izquierda, multiplicamos por − 2μr sen2 θ y pasamos el termino en φ a la
2
derecha:
„
«
sen θ ∂
∂Θ(θ)
2μr 2
Ze2
1 ∂ 2 Φ(φ)
sen2 θ ∂ 2 ∂R(r )
r
+
sen θ
+ 2 sen2 θ
+E =−
R(r ) ∂r
∂r
Θ(θ) ∂θ
∂θ4π 0 r
Φ(φ) ∂φ2
́
́
El primer miembro es funcion de r y θ y el segundo solo de φ =⇒
−
1 ∂ 2 Φ(φ)
∂ 2 Φ(φ)
= m2 ⇒ −
= m2 Φ(φ)
Φ(φ) ∂φ2
∂φ2
−→
Φ(φ) = Neimφ (Rotor r ́gido)
ı
́
Condicion de continuidad: Φ(φ) = Φ(φ + 2π)
eimφ = eim(φ+2π) ⇒ eimφ = eimφ eim2π ⇒ eim2π = 1
eim2π = cos 2mπ + i sen 2mπ, ⇒ cos 2mπ = 1 y sen 2mπ = 0, ⇒ m = 0, ±1, ±2, ±3, . . ..
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́
́
́
́
́
́Introduccion El atomo de Hidrogeno y atomos hidrogenoides (He+ , Li2+ , Be3+ , . . .) Atomos polielectronicos, aproximacio
́
̈
Ecuacion de Schrodinger (III)
sen θ ∂
∂Θ(θ)
2μr 2
sen2 θ ∂ 2 ∂R(r )
r
+
sen θ
+ 2 sen2 θ
R(r ) ∂r
∂r
Θ(θ) ∂θ
∂θ
„
Ze2
+E
4π 0 r
«
=−
1 ∂ 2 Φ(φ)
Φ(φ) ∂φ2
́
Dividiendo por sen2 θ y pasando los terminos en θ a la derecha, tenemos:
n 2
o
2
∂Θ(θ)1
m2
∂ 2 ∂R(r )
Ze
∂
r ∂r + 2μr
+ E = sen−1
sen θ ∂θ + sen2 θ = cte = ( + 1)
2
R(r ) ∂r
4π r
θΘ(θ) ∂θ
0
Obtenemos un conjunto de tres ecuaciones diferenciales monodimensionales independientes:
» 2
–
2 ∂
∂R(r )
( + 1)
Ze2
−
r2
+
−
R(r ) = E R(r )
(1)
2μr 2 ∂r
∂r
2μr 2
4π 0 r
1 ∂
∂Θ(θ)
m2
sen θ
−
Θ(θ) + ( + 1)Θ(θ) = 0
sen θ ∂θ
∂θ
sen2 θ
1 ∂ 2 Φ(φ)
∂ 2 Φ(φ)−
= m2 ⇒ −
= m2 Φ(φ) −→ Φ(φ) = Neimφ (Rotor r ́gido)
ı
Φ(φ) ∂φ2
∂φ2
́
La Ec. (1) =⇒ parte radial de la funcion de onda.
́
́
La Ec. (2) =⇒ (rotor r ́gido) =⇒ Armonicos esfericos.
ı
La Ec. (3) =⇒ (rotor r ́gido) obtenida anteriormente.
ı
́
́
J. San Fabian y A. Aguado y Dpto. de Qu ́mica F ́sica Aplicada, U.A.M. (VERSION EN DESARROLLO)
ı
ı
Qu ́mica F ́sica Aplicada, UAM
ı
ı́
́
́
́
́
́
́
Introduccion El atomo de Hidrogeno y atomos hidrogenoides (He+ , Li2+ , Be3+ , . . .) Atomos polielectronicos, aproximacio
Funciones de onda radiales (I)
́
Las funciones radiales, Rnl (r ), son soluciones de la ecuacion radial:
» 2
–
2 ∂
∂R(r )
( + 1)
Ze2
−
r2
+
−
R(r ) = E R(r )
2μr 2 ∂r
∂r
2μr 2
4π 0 r
́
́
Dependen solo de r y de los numeroscuanticos n y l.
́
́
́
́
Son productos de una funcion exponencial por una funcion polinomica de la variable
adimensional r /a0
"„
Rnl (r ) = −
Ls (ρ) = ds
r dρs
Lr (ρ) = =
(n − − 1)!
2n[(n + )!]3
“
r
#1
2
ρ
1
L2 +1 (ρ) e− 2 ρ
n+
polinomio asociado de Laguerre
(de grado r − s y de orden s)
polinomio de Laguerre
(de grado r )
2Zr
na0
[Lr (ρ)] =
ds
dρs
«3
d
eρ dρrρr e−ρ
con ρ
2Z
na0
d
eρ dρr ρr e−ρ
r
”
́
Para que las funciones de onda Rn (r ) sean aceptables se deben cumplir la condicion:
́
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́
́
́
́
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Introduccion El atomo de Hidrogeno y atomos hidrogenoides (He+ , Li2+ , Be3+ , . . .) Atomos polielectronicos, aproximacio
Potencial efectivo (opcional)
́
Las funciones radiales, Rnl (r ), son soluciones de la ecuacion radial (1),2
−
2μr 2
∂ 2 ∂R(r )
r
+
∂r
∂r
»
2
( + 1)
Ze2
−
2
2μr
4π 0 r
–
R(r ) = E R(r )
́
El termino entre corchetes se puede considerar como un potencial efectivo, Vef (r ),
2
Vef =
Ze2
( + 1)
−
2
2μr
4π 0 r
formado por (a) el potencial centr ́fugo
ı
2
( + 1)
2μr 2
repulsivo y que var ́a con 1/r 2
ı
y (b) el potencial de Coulomb
−
Ze2
4π 0 r
atractivo y que cambiacon 1/r .
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J. San Fabian y A. Aguado y Dpto. de Qu ́mica F ́sica Aplicada, U.A.M. (VERSION EN DESARROLLO)
ı
ı
Qu ́mica F ́sica Aplicada, UAM
ı
ı
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Introduccion El atomo de Hidrogeno y atomos hidrogenoides (He+ , Li2+ , Be3+ , . . .) Atomos polielectronicos, aproximacio
Potencial efectivo (II, opcional)
́
Si = 0, el electron no tiene momento...