Futuro Ingeniero.

2 El campo gravitatorio
1. Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones (5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertad y con velocidad nula en el (0, 10). Calcula: a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones: • A (0, 10). • B (0, 0). b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0). a) e acuerdo con el principio D fundamentalde la dinámica: W F W a= m Cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo es la gravitatoria, la aceleración coincide con el vector intensidad del campo gravitatorio en el punto: W FG W g= m
W r2A A (0, 10)

W r1A

10 kg M2 (−5, 0)

W r2B B (0, 0)

W r1B

10 kg M1 (5, 0)

Calculamos el valor de la intensidad del campo gravitatorio en los puntos A y B. Por el principio desuperposición: W W W W W W g A = g 1A + g 2A; g B = g 1B + g 2B W Sabemos que r1A es un vector con origen en (5, 0) y extremo en (0, 10). Por tanto: r −5 ⋅ i + 10 ⋅ j W = −5 ⋅ W+ 10 ⋅ W → u1A = 1A = r 1A i j  r1A 52 + 102 W r 1A −5 ⋅ W+ 10 ⋅ W i j −5 ⋅ W+ 10 ⋅ W i j W = −5 ⋅ i + 10 ⋅ j → u1A = = = r1A 11,18 W  52 + 102 Queda: G ⋅M W 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 −5 ⋅ W+ 10 ⋅ W i j W g 1A = − 2 1 ⋅ ur1A = − ⋅ N/kg = 2 r1A 11,18 11,18 = 2, 386 ⋅ 10−12 ⋅ W− 4,773 ⋅ 10−12 ⋅ W N/kg i j W Sabemos que r2A es un vector con origen en (−5, 0) y extremo en (0, 10). Por tanto: W W W W W W A = 5 ⋅ W+ 10 ⋅ W→ u 2A = r 2A = 5 ⋅ i + 10 ⋅ j = 5 ⋅ i + 10 ⋅ j W r2 i j 11,18 r2A W  52 + 102

r 1A

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Solucionario

Queda: G ⋅M W 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 5 ⋅ W+ 10 ⋅ W i j W g 2A = − 2 2 ⋅ ur 2A = − · N/kg =2 r2A 11,18 11,18 = −2, 386 ⋅ 10−12 ⋅ W− 4,773 ⋅ 10−12 ⋅ W N/kg i j Finalmente: W W W g A = g 1A + g 2A = (2, 386 ⋅ 10−12 · iW 4,773 ⋅ 10−12 · W N/kg + − j) −12 W −12 W + (−2, 386 ⋅ 10 ⋅ i − 4,773 ⋅ 10 ⋅ j ) N/kg = j = −9,546 · 10−12 ⋅ W N/kg Los cálculos son análogos para B. W Sabemos que r1B es un vector con origen en (5, 0) y extremo en (0, 0). Por tanto: W W W = −5 ⋅ W → u1B = r1B = −5 ⋅ i= −W W r 1B i i r 1B 5 W  Queda: G ⋅M W 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 W g 1B = − 2 1 · u r1B = − ⋅ (−W) N/kg = i r1B 52 = 26,68 ⋅ 10−12 ⋅ W N/kg i W Sabemos que r2B es un vector con origen en (−5, 0) y extremo en (0, 0). Por tanto: W W W B = 5 ⋅ W → u2B = r2B = 5 ⋅ i = W W r2 i i r2B 5 W  Queda: G ⋅M W 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 W W g 2B = − 2 2 ⋅ ur 2B = − ⋅ i N/kg = r 2B 52 = −26,68 ⋅ 10−12 ⋅ W N/kg i Porúltimo: W W W g B = g 1B + g 2B = 26,68 ⋅ 10−12 ⋅ W− 26,68 ⋅ 10−12 ⋅ W= 0 i i b) i admitimos que la única interacción que existe es la gravitatoria, S se conservará la energía mecánica. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica a los puntos A y B: EC A + EP A = EC B + EP B •  E P A = E P 1A + E P 2A = − =− GM1 ⋅ m GM 2 ⋅ m − = r1A r2A

6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 ⋅ 0,1 6,67 ⋅ 10−11⋅ 10 ⋅ 0,1 − = 11,18 11,18

= −11, 93 ⋅ 10−12 J

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2 El campo gravitatorio
•  E P B = E P 1B + E P 2B = − GM1 ⋅ m − GM 2 ⋅ m = r1B r2B 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 ⋅ 0,1 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 10 ⋅ 0,1 − = 5 5 = −26,68 ⋅ 10−12 J =− Por tanto, usando unidades del SI: EC A + EP A = EC B + EP B → 0 + E P A = → 0 − 11, 93 ⋅ 10−12 = 1 2 m B ⋅ vB + EP B → 2

1 2 ⋅ 0,1 ⋅ v B − 26,68 ⋅ 10−12 → 2

→ v B = 1,72⋅ 10−5 m/s 2. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula: a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado. b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅kg−2. (C. Madrid, 2008)
B (0, 2), 6 kg 2 m

C (2, 2), 6 kg

a) ado que el sistema D es perfectamente simétrico, calculamos el campo gravitatorio en uno de los lados: W W W W W g X = g A + g B + g C + g D W Sabemos que rA es un vector con origen en (0, 0) y extremo en (1, 0). Por tanto:

2 m

W gB

W gC

2 m

W rB W gA A (0, 0), 6 kg W rA X (1, 0)

W rC W gD W...