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NOMBRE DEL ALUMNO:
José David López García.

SEMESTRE Y GRUPO:
3° “F”.

CARRERA:
Informática

CATEDRATICO:
Carlos Martin Munguía Ballinas.

MATERIA:
Algebra Lineal.

TEMA:
Transformaciones lineales.


CINTALAPA DE FIGUEROA A 03 DE DICIEMBRE DE 2013




UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES.
5.1 INTRODUCCIÓN A LASTRANSFORMACIONES LINEALES.
El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.
Ejemplo 1: reflexión respecto aleje x
En R2 se define una función T mediante la fórmula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.
Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.
Un fabricante elabora cuatro tipos deproductos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.
Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.
Unfabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de loscuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tablase tiene que r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades de manera similar r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades en general se ve que

o Ap= r.
Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma”el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal.
Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones como
Ax=b
Donde A es una matriz de m*n, x R” y b R”. Se pidió encontrar xcuando A y b se conocían . No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice” : proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir , A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´.
La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A ( si es un escalar y A(x + y) = Ax + Ay. Esta propiedadcaracteriza las transformaciones lineales.
Definición 1 transformación lineal
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v V un vector único Tv W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar. T(u + v) = Tu + Tv
            Y               
T(av) = aTv
TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN
1. Se escribe T: v W...