gallo

6

DERIVADAS.
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

Página 152
Tangentes a una curva
y = f (x )

5
3

–5
I

9

14

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14).
f ' (3) = 0; f' (9) =

I

3

–3
; f' (14) = 1
4

Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva.
La derivada también es positiva en x = –4, x = –2, x = 0…

I

Di otro punto en elque la derivada sea cero.
La derivada también es cero en x = 11.

I

Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa.
La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

I

Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x ∈[a, b ], entonces
f' (x) > 0”.
Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x ∈ [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.

Unidad 6. Derivadas. Técnicasde derivación

1

Página 153
Función derivada
I

Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es
una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x).

y = f (x )

b
a

• En el intervalo (a, b), f (x) es
decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le
pasa a g (x) en (a, b).
y = g (x) = f ' (x )

• La derivada de f en b es 0:
f' (b) =0. Y también es g(b) = 0.

b
a

• En general:
g (x) = f' (x) = 0 donde f (x)
tiene tangente horizontal.
g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) es creciente.

g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.
I

Las tres gráficas de abajo, A,
B, y C, son las funciones derivadas de las gráficas de
arriba, 1, 2, y 3, pero en otro
orden. Responde razonadamente cuál es la de cada
cual.
1) B

1A

2

B

3

C

2) A
3) C
La derivada se anula en los
puntos de tangente horizontal,
es positiva donde la función es
creciente, y es negativa donde
la función decrece.

Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

2

Página 155
 2 – 3x,
1. f (x) =  2
 x – 3,

x≤2
x>2

¿Es derivable en x0 = 2?

lím f (x) = lím – (2 – 3x) = –4

x → 2–

x→2

lím f (x) = lím+ (x2 – 3) = 1

x → 2+

x→2

La funcón no es continua en x = 2, pues

lím f (x) ≠ lím + f (x).

x → 2–

x→2

Por tanto, tampoco es derivable en x = 2.
 2 – 3x,
2. f (x) =  2
 x – 8,

x≤2
x>2

¿Es derivable en x0 = 2?

lím f (x) = lím – (2 – 3x) = –4

x → 2–

x→2

lím f (x) = lím + (x2 – 8) = – 4

x → 2+

x→2

La función es continua, pues:

lím f (x) = lím+ f (x) = f (2) = – 4.

x → 2–

x→2

 –3 si x < 2
f' (x) = 
 2x si x > 2
f' (2–) = –3 ≠ f' (2+) = 4
Por tanto f (x) no es derivable en x = 2.

Página 159
1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) =

b) f (x) =

√

1–x
1+x

d) f (x) =

1 – tg x
1 + tg x

1 – tg x
1 + tg x

f ) f (x) = ln √e tg x

1–x
1+x

c) f (x) = ln

e) f(x) =

√

1–x
1+x

g) f (x) = √3x + 1

h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x

j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1

k) f (x) = 7 sen (x + 1)

l) f (x) = sen (3x5 – 2 √x + √2x )

m) f (x) = √sen x + x2 + 1

n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2

2

Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

3

3

3

–2
a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1– x – 1 + x =
(1 + x) 2
(1 + x) 2
(1 + x) 2
b) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =
2

√

–1
1
–2
·
=
(1 + x) 2 √ (1 – x)(1 + x) 3
1–x
1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =

1
–2
–2(1 + x)
·
=
= –2
1 – x (1 + x) 2
(1 – x)(1 + x) 2
1 – x2
1+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente:
f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:f' (x) =

–1
1
–
= –1 – x – 1 + x = –2
1–x
1+x
1 – x2
1 – x2

2
2
d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) =
(1 + tg x) 2
2
2
= (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x)
2
(1 + tg x)
(1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):
f' (x) =

2
–2
–2
· D [tg x] =
· (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x)
2
2
(1 + tg...