GAUSS

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordán, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordán, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente enel que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán

Ir a la columna no cero extrema izquierda
Si el primer renglón tiene un cero en esta columna,intercambiarlo con otro que no lo tenga
Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la sub matriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
Comenzando con el último renglón nocero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordán, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordán), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro(llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:



Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones(llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos xde la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:


Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.



Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la terceraecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.



Despejando, podemos ver las soluciones:



Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial Primero:



Después,



Por último.



Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.
Forma escalonada y escalonada reducida

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

Todas las filas 1 están en la parte inferior de la matriz.
El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote";éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida.

Todos los elementos delanteros...