Gauss

SUMANDO NUMEROS IMPARES
Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A 2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A Entonces A esel propio conjunto N de los números naturalesSi cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de losnúmeros naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.
En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamosen el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple paratodos los números naturales a partir del 1.
Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
Si sumamos el primer imparobtenemos 1 al cuadrado; si sumamos los dos primeros impares obtenemos 2 al cuadrado; si sumamos los tres primeros impares el resultado es 3 al cuadrado; y así sucesivamente. ¿Seguro? Eso esjustamente lo que vamos a demostrar, que esta propiedad se cumple siempre, sean cuantos sean los números impares que yo sume. Es decir, vamos a demostrar lo siguiente:El primer paso es comprobar el primer punto, es decir, que nuestra propiedad se cumple para el primer elemento de nuestro conjunto, que en este caso es n=1. Tendríamos que ver que la suma de todoslos impares desde 1 hasta 2·1-1 es 12, o lo que es lo mismo, que 1=12. Pero eso es bastante evidente y además ya lo hemos escrito anteriormente.
Vamos con el segundo y último paso. Para ello lo quehacemos es suponer que la propiedad se cumple para el caso n (esta hipótesis se denomina hipótesis de inducción) y con ello demostramos el caso n+1. Es decir:

Comencemos la demostración de este...