Gauss
Páginas: 2 (325 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2012
Método de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a losmatemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzcauna matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, laconvergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la partetriangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:
Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q
y la ecuación se puede escribir en la forma:
Qx(k) =-Rx(k-1) + b
Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:
Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para losque j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces:
| = | | |
| = | | |
de dondedespejando xi(k), obtenemos:
Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas lascomponentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevovalor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
En la figura se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel. |...
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a losmatemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzcauna matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, laconvergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la partetriangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:
Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q
y la ecuación se puede escribir en la forma:
Qx(k) =-Rx(k-1) + b
Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:
Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para losque j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces:
| = | | |
| = | | |
de dondedespejando xi(k), obtenemos:
Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas lascomponentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevovalor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
En la figura se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel. |...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.