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Sucesiones num´
ericas

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CALCULO
INFINITESIMAL
Grado en Matem´aticas
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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Definici´on
Una sucesi´on de n´
umeros reales {an } no es m´as que una regla que
a cada n´
umero natural le hacecorresponder otro real:
an : N → R, an = f (n),

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

n = 1, 2, 3, ...

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Definici´on
Una sucesi´on de n´
umeros reales {an } no es m´as que una regla que
a cada n´
umero natural le hace corresponder otro real:
an : N → R, an = f (n),

n = 1, 2, 3, ...

¡O sea, una sucesi´
on esuna funci´
on definida sobre N !

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Definici´on
Una sucesi´on de n´
umeros reales {an } no es m´as que una regla que
a cada n´
umero natural le hace corresponder otro real:
an : N → R, an = f (n),

n = 1, 2, 3, ...

¡O sea, una sucesi´
on es una funci´
on definida sobre N !
Porejemplo: La sucesi´
on constante an = 1
{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}
La sucesi´on de los n´
umeros naturales an = n
{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
La sucesi´on de los inversos de los n´
umeros naturales bn =
1 1 1 1
1
1
1
, , , ...,
, ,
, ...
1 2 3 4 n−1 n n+1
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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

1
n

Sucesionesnum´
ericas

Monoton´ıa
Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an .
Por ejemplo, la sucesi´on an = n2 es mon´
otona creciente.

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Monoton´ıa
Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an .
Por ejemplo, la sucesi´onan = n2 es mon´
otona creciente.
Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an .
Por ejemplo, la sucesi´on an =

1
es mon´
otona decreciente.
n

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Monoton´ıa
Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an .
Porejemplo, la sucesi´on an = n2 es mon´
otona creciente.
Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an .
Por ejemplo, la sucesi´on an =

1
es mon´
otona decreciente.
n

Definici´on
Una sucesi´on {an } es mon´
otona no decreciente si ∀n ∈ N,
an+1 ≥ an . y mon´otona no creciente si ∀n ∈ N, an+1 ≤ an .
Ejemplos: sucesi´on no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3,...} y no
crecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an } constante.
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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Acotaci´on

Definici´on
Se dice que una sucesi´
on {an } est´a acotada superiormente si
∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.
1
Por ejemplo, la sucesi´on bn = 2 est´a acotada superiormente pues
n
bn ≤ 1, ∀n∈ N.

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Acotaci´on

Definici´on
Se dice que una sucesi´
on {an } est´a acotada superiormente si
∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.
1
Por ejemplo, la sucesi´on bn = 2 est´a acotada superiormente pues
n
bn ≤ 1, ∀n ∈ N.
Definici´on
Se dice que una sucesi´
on {an } est´a acotadainferiormente si
∀n ∈ N, existe un m ∈ R tal que an ≥ m.
Por ejemplo, la sucesi´on bn = n2 est´a acotada inferiormente pues
bn ≥ 1, ∀n ∈ N .

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Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla

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CALCULO
INFINITESIMAL

Sucesiones num´
ericas

Acotaci´on

Definici´on
Se dice que una sucesi´
on {an } est´a acotada, si {an } est´a acotada
superior e inferiormente. Es decir si...