Generalización En Matemáticas

GENERALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS

NOMBRE: JONATTAN MORRISON TARQUINO APARICIO CÓDIGO: 614072002 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES PROFESOR: CARLOS ALBERTO DIEZ FONNEGRA FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Es importante en primera medida definir lo que significa la generalización en matemáticas y estudiar el porque de la misma. La generalización en matemáticas es unprocedimiento netamente lógico matemático en el cual se puede “diciéndolo de alguna manera” globalizar, extender lo aplicado a casos particulares. Lo que funciona para unos entes, cosas o individuos, funcionara para un gran conjunto o clase de ellos mismos, si cumplen con unas condiciones bien determinadas. Cuando se habla de generalización se habla del trabajo matemático que consiste en detectar elalcance de aplicación de un esquema, matemático o teoría. Mirar cual es su cobertura o sea cual es el conjunto de elementos matemáticos que por sus rasgos esenciales de estructura lógica son los que están propensos a ser afectados, manipulados y estudiados por tal o cal teoría o teorema matemático. Ejemplo:

Estas expresiones matemáticas en cuanto a su estructura son similares. Son integrales de lasderivadas externas de alguna función real, multiplicadas por las derivadas internas con algunas variantes. Está inmerso allí el esquema de la integral de la función compuesta el cual es:

Que es el que se debe aplicar para la solución de los mismos.

Dentro de los diferentes procesos de generalización se tiene una subdivisión en cinco niveles bien determinados pero interrelacionados. Estosniveles son: 1. LA REPRESENTACIÓN SINGULAR DE LO GENERAL: esto tiene que ver con la representación de los componentes de un conjunto de muchos o infinitos elementos empleando un esquema semiótico o formal, que sea común, generalizante o global para todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: cuando se formaliza la sucesión de números pares bajo la forma para n perteneciente a losenteros. Otro ejemplo cuando la generalización para la notación de polinomios

2. GENERALIZACIÓN POR DEDUCCIÓN: cuando partiendo de ciertos presupuestos y empleando la lógica, se llega a una conclusión valida que se generaliza para un gran conjunto de situaciones, problemas, elementos o casos matemáticos. Como en el caso de la deducción de: Este nivel es de suma importancia, ya que gracias a el se halogrado hasta el día de hoy realizar muchas generalizaciones y ésta es la forma que toma una gran parte de los procesos de demostración en matemáticas. La demostración directa. 3. GENERALIZACIÓN POR INDUCCIÓN: En este lo que se persigue es tratar de examinar que una propiedad que tiene algunos individuos o elementos pertenecientes a un conjunto, la cumplan todos los elementos restantes del mismocojunto “implica no cambir de contexto”. Ppor inducción matemática se tiene como ejemplo: Probar que: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +….+ n =

4. GENERALIZCIÓN POR AMPLIACIÓN DE CONCEPTO: esto es cundo se amplia el contexto en el cual un concepto, esquema o teoría

matemática esta localizado. Por ejemplo cuando de ampla el concepto de derviada de funciones de una variable al de derivada de funcionesvectoriales o a las funciones multivariadas. Cosa similar ocurre cuando se recontextualiza o se amplia la teroría refente a la integral, ocuando se hace lo mismo con vectores en R² a vectores en R³ y saliendo un poco de las matemáticas a la biología, cuando se amplia el concepto de mamífero terrestre al de mamífero acuatico “caso de los delfines”. 5. GENERALIZACIÓM MEDIANTE CAMBIO DE PROBLEMA: Este tipode generalización es muy empleado por todos a la hora de solucionar problemas y funciona de la siguiente manera: Cuando se requiere soluciobar un problema que en cuanto a estructura o modelo correponde a otros cuyas soluciones y procedimientos de solución ya se conocen o fueron posibles, se aplica este procedimiento o método de solución al problema que se tiene. Ejemplo: Solucionar:

Como...