Generalizacion

Propuesta 1. De la generalización a la resolución de ecuaciones
Secuencia 1. De la aritmética al álgebra
Orientaciones para el profesorado P Actividades
Actividad «Operaciones encadenadas»
El paso de la aritmética al álgebra requiere tomar conciencia de la importancia del lenguaje simbólico y, por lo tanto, de las reglas de escritura e interpretación de las expresiones escritas. Muchas de lasdificultades que tienen los alumnos con el álgebra se deben a que no se ha hecho un trabajo sobre las reglas en la aritmética, que serviría para el posterior estudio de las expresiones algebraicas, porque no se consideraba entonces adecuado ni necesario tratar este aspecto de las matemáticas como un objetivo en sí mismo. Por eso, este tipo de ejercicios se deben hacer al principio y volverlos ahacer después intercalados con otro tipo de actividades. A medida que se vayan utilizando símbolos para las variables se irán sustituyendo por operaciones con expresiones algebraicas. Para poder desenvolverse sin dificultades en el uso de las expresiones algebraicas hay que tener en cuenta la simetría de la igualdad, porque, en aritmética, la igualdad se usa fundamentalmente en un sentido,«efectuando las operaciones», y eso hace que aparezcan dificultades más adelante cuando se aplican propiedades en las expresiones algebraicas y no se llega aparentemente a ningún resultado final. Otra de las características de la manipulación de las expresiones algebraicas es el encadenamiento de las transformaciones o la igualdad de expresiones que se han obtenido por caminos diferentes. Esto debeprepararse desde mucho antes, mostrando que ese tipo de trabajo entra dentro de las reglas del juego de la aritmética aunque hasta ahora no se haya hecho uso de él. Estas actividades se pueden hacer de forma individual o dirigidas por el profesor. Seguramente, lo mejor es alternar presentación del profesor, trabajo individual de los alumnos en sus cuadernos y puestas en común con toda la clase paradiscutir las alternativas.

Solucionario al apartado a):

17 – 8 x 5 + 3 = – 20 (17 – 8) x 5 + 3 = 48 (17 – 8) x (5 + 3) = 72 17 – 8 x (5 + 3) = – 47 10 + 8 : 4 – 2 + 6 x 5 – 4 = 36 10 + 8 : (4 – 2) + 6 x (5 – 4) = 20 10 + 8 : (4 – 2 + 6) x (5 – 4) = 11

Solucionario al apartado b):

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Actividad «El signo igual»
En esta actividad, se pide descomponer el número 168 escribiéndolo comoresultado de operaciones con otros números. Se trata de utilizar el signo «=» en sentido contrario a como se acostumbra en aritmética, poniendo así en evidencia las dos posibilidades del signo «=» y la simetría de la igualdad. Solucionario al apartado a): 168 = 54 + 114 168 = 14 + 2 · 77 168 = 42 + 3 · (30 + 12)

Las demás preguntas tienen varias soluciones.

Actividad «Diagramas de flechas»
En elejercicio a) se utiliza un soporte de diagrama de flechas para trabajar las mismas ideas: todas las flechas apuntan hacia el número 164 en el primer caso; en el segundo caso se tiene que colocar en la casilla del centro el número que se quiera. En el ejercicio b) se pretende que se sustituyan alguno de los números que aparecen en el diagrama por una letra para empezar a escribir expresionesalgebraicas. Solucionario al apartado a): Fig. 3

2 x 240 + 12

492 ÷ +

84

3

80

164

169 – 5 x

2

82

3 x 27 + 1

La cadena de expresiones quedaría: 164 = 84 + 80 = 2 x 82 = 2 x (3 x 27 + 1) = 169 – 5 = 492 ÷ 3 = (2 x 240 + 12) ÷ 3

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Fig. 4 Por ejemplo se puede colocar en el centro el número 540: 2750 ÷ 5

550 + x

10

–10

54

540

1620 ÷ 3 +

62

4782 + 4 x 119

La cadena de operaciones quedaría: 540 = 10 x 54 = 62 + 478 = 62 + 2 + 4 x 119 = 1620 ÷ 3 = 550 + (–10) = 2750 ÷ 5 + (–10)

Solucionario al apartado b): elegir una o más letras diferentes. La simbolización que haga cada alumno depende del diagrama que haya completado

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Operaciones encadenadas A
a) Haz las operaciones siguientes: 17 – 8 x 5 + 3 = (17 – 8) x 5 + 3 =...