Geo 4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

4

LA CIRCUNFERENCIA
Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de
un diámetro son los puntos A = (− 2,3 ) y B = (4,−1) .Solución:
C = (h,k ) es punto medio de AB
!





Luego :

h=1
k =1

! C = (1,1)

r=

AB
2

=

52
2

! r 2 = 13

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 13
C : x 2 + y 2 + 12x − 12y +36 = 0

27

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,
en el segundo cuadrante.
Solución:
Del gráfico, se deduce que
C = (h,k ) = (− 6,6) es el centro
de la circunferencia
y su radio r = 6.

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2
(x + 6)2 + (y − 6)2 = 36
C : x 2 + y 2 + 12x − 12y + 36 = 0
Dada la ecuación de la circunferencia 3 x 2 + 3 y 2+ 4 y − 7 = 0 , encontrar
el centro y el radio.
Solución:
Completando cuadrados :
! 3x 2 + 3 y 2 + 4y − 7 = 0
4
4
4

3 x 2 + 3 y 2 + y +  = 7 +
3
9
3

2

2
25

3x 2 + 3 y +  =
3
3


22
25

x2 +  y +  =
3
9


28

ˆ

d donde : h = 0 , k = −
; De

2
5

C =  0,−  ; r =
3
3



2
3

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esel punto C = (− 4,−1)
y que es tangente a la recta: 3 x + 2y − 12 = 0 .
Solución:

r = Distancia de C a

Sea :

‹ : 3x + 2y − 12 = 0

Luego :
! r=

=
=

(3)(− 4) + (2)(− 1) − 12
3 2 + 22
− 12 − 2 − 1213
− 26
13

=

26
13

! r 2 = 52

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2
Reemplazando :

C : (x + 4 )2 + (y + 1)2 = 52
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (4,0 ) ,
B = (0,3 )y C = (− 2, − 2) .

Solución:
Sea

C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 → ⊗

!

A = (4,0 ) ∈

C ! 16 + 4 D+ F = 0 → #

!

B = (0,3 ) ∈

C ! 9 + 3E + F = 0 → "

!

C = (− 2, − 2) ∈

Luego, de

C ! −2D − 2E + F = 8 → !

# ," y ! :

D=−

19
5
132
; E=
; F=−
13
13
13

29

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

En

⊗:

ˆ C:

x 2 + y2 −

19
5
132
=0
x+
y−
3
13
13

C : 13x 2 + 13y 2 − 19x + 5y − 132 =...