Geografia

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Lateoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y lafilosofía para sacar conclusiones sobre laprobabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidadesLa teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunasdefiniciones:
Suceso
Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda salgacara.
Al lanzar una moneda se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar undado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A  B =  entonces:
p(A  B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabilidades de un suceso ysu contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de Laplace
Dado un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:Probabilidad de la unión de sucesos
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A  B = 
p(A  B) = p(A) + p(B)
Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A  B ≠ 
p(A  B) = p(A) + p(B) − p(A  B)
p(A  B  C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A  B) − p(A  C) − p(B  C) + p(A  B  C)
Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 óun 6 al lanzar un dado.

Probabilidad condicionada
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a laprobabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

Sucesos independientes
Dos sucesos A y B sonindependientes si
p(B/A) = p(B)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(B/A) ≠ p(B)

Probabilidad compuesta
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(A  B) = p(A) · p(B)
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes...