Geometría (Cuadriláteros)

Geometría Euclídea Plana
Primer Cuatrimestre 2010

Cuadriláteros
1. Cuadriláteros
1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Este apunte no tiene mayores variantes respecto a la presentación de Pogorélov [1], y ponemos indicaciones de las demostraciones sólo si hay variantes
respecto de la presentación de ese libro. En clase omitiremos mucho de estematerial, dejándolo a cargo de los alumnos.

1. Cuadriláteros
1.1. Definición. Dados cuatro puntos ������, ������, ������, ������ tales que no hay tres de ellos
sobre una misma recta, la figura formada por ellos y los segmentos ������������, ������������ , ������������
y ������������ se llama cuadrilátero, y se denota por ������������������������ .
• Los puntos ������, ������, ������, ������ sonlos vértices, los segmentos ������������, ������������ , ������������ y ������������
son los lados, y los ángulos ∠ ������ = ∠ ������������������ , ∠ ������ = ∠ ������������������ , ∠ ������ = ∠ ������������������,
∠ ������ = ∠ ������������������ son los ángulos del cuadrilátero.
• Los vértices ������ y ������ y los vértices ������ y ������ se dicen opuestos, así como los lados
������������ y������������ , y los lados ������������ y ������������ .
• El cuadrilátero ������������������������ es convexo si se encuentra en un mismo semiplano
respecto de la recta que contiene a cualquiera de sus lados.
 En cursos más avanzados se define un conjunto como convexo si para
cualquier par de puntos en él, el segmento que los une está también
contenido en el conjunto. Para cuadriláteros,esto requeriría pedir que
la figura fuera «llena», cosa que no se supone aquí.
Observar que con esta otra definición de «convexo» el axioma II.3
establece que cada semiplano es convexo y que el plano sin una recta
no lo es.

• Los segmentos que unen los vértices opuestos del cuadrilátero se llaman
diagonales.
£
1.2. Teorema (9.1 en Pogorélov [1]). Las diagonales de un cuadrilátero convexo
secortan.
1.3. Teorema (9.2 en Pogorélov [1]). La suma de los ángulos de un cuadrilátero
convexo es 360∘ .

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Cuadriláteros
1.4. Definición. Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, i.e., se encuentran en rectas paralelas.
£
1.5. Lema. Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo.
k Sea ������������������������ el paralelogramo. De ������������‖ ������������ resulta que ������ y ������ están en un mismo
semiplano respecto de recta ������������ , y lo mismo para los otros lados.

1.6. Teorema (9.3 y 9.4 en Pogorélov [1]). En un paralelogramo,
a) los lados opuestos son iguales,
b) los ángulos opuestos son iguales,
c) las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.
1.7. Teorema (9.5 en Pogorélov [1], con agregados). Si uncuadrilátero convexo
satisface alguna de las condiciones:
a) tiene dos lados opuestos paralelos e iguales, o
b) los lados opuestos son iguales, o
c) los ángulos opuestos son iguales, o
d) las diagonales se cortan en sus puntos medios,
entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
k Agregamos c) respecto de Pogorélov. Los otros incisos se demuestran como los
correspondientes en 1.6, pero a partirde la igualdad de los triángulos (usando
LAL) se deduce que la suma de alternos internos es 180∘ y por lo tanto los
lados son paralelos (por 4.12 en el apunte de axiomas).
Para c), si ������������������������ es el cuadrilátero convexo, comparamos los triángulos
������������������ y ������������������. Pongamos
������ = ∠ ������������������,

������ = ∠ ������������������,

������ = ∠������������������,

������ ′ = ∠ ������������������,

������ ′ = ∠ ������������������,

������ ′ = ∠ ������������������,

y queremos ver que ������ = ������ ′ . Como se trata de triángulos, ������ + ������ + ������ = ������ ′ + ������ ′ + ������ ′ =
180∘ , y como la hipótesis es ������ = ������ ′ y ������ + ������ ′ = ������ ′ + ������, resulta
������ + ������ = ������ ′ + ������ ′...