Geometría Diferencial

Geometría Diferencial
Definición
La Geometría Diferencial es una técnica que, mediante métodos diferenciales, da respuesta a numerosos problemas matemáticos y además se puede completar con lasherramientas necesarias para introducir la Geometría Riemannniana que es una teoría que unifica la geometría euclidiana, la llamada geometría analítica, la geometría proyectiva y la geometríahiperbólica. También deja el camino abierto para introducir la Geometría Pseudo-Riemanniana que da un marco adecuado para el estudio de la Teoría de la Relatividad.

Comentarios Históricos
La geometría de lasculturas griega y egipcia quedó recogida de modo magistral en los Elementos de Euclides. Esta excepcional obra se fecha aproximadamente hacia el 300 a.C. y en ella se establecen fundamentos degeometría y álgebra griega que van a tener una influencia decisiva a lo largo de los dos milenios siguientes.
Los Elementos se construyen a partir de unos postulados básicos que describen las propiedadeselementales de los puntos y las rectas del plano. Con este tratado se plantea uno de los problemas que más polémica ha causado y para cuya resolución completa se han necesitado más de dos milenios. Setrata simplemente de averiguar si los postulados son independientes y si uno de ellos, frecuentemente denominado quinto postulado y también postulado de las paralelas, depende de los demás. En geometríaeuclidiana se verifica que por punto exterior a una recta pasa una única recta paralela y va a ser esta propiedad la que hace que la resolución del problema anterior se conozca también como laciencia de las paralelas.
Por brevedad y para centrarnos rápidamente en los aspectos diferenciales de la geometría vamos a dar un gran salto en el tiempo para situarnos en el siglo XVII. Con ello noqueremos que se desprenda que en el periodo intermedio no se dieran importantes avances geométricos.
Empezamos esta nueva etapa mencionando a René Descartes (1586-1650), eminente científico francés,...