germinacion y manejo de species

Límites y continuidad
LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (dife rencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el
valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número
determinado o al infinito.

Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite deuna función en gene ral vamos a
observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende
(se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el
entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1

f (x)2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como
por la de recha, tomando valores menores o mayores que 2,
f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más
cerca está x de 2, o lo que es lo mis mo, cuando la diferencia
en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimis mo la
diferencia, en valorabsoluto, entre f (x) y 3 se hace cada
vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la
tabla infe rior derecha).
O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando
la variable independiente se aproxima también a un valor
constante.
|x

2|

|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1| f (x)

3|

|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivame nte que el límite de la función f (x) cuando x tiende
a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Definición épsilon-delta
Sea funa función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite
de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este defini da en a para que el lí mite exista.

Ejercicios resueltos (aplicando la definición épsilon-delta)
En los ejercicios 1 a 4, de muestre que el límite es el número indicado
aplicando la definición Épsilon-delta:

So l uc io ne s1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la
definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera,entonces

Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

Procedimiento para calcularlímites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el límite de unafunción polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se
aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es
posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la
función de tal modo que, una ve z hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la
división por cero: para lograr...