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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Divisibilidad y teorema del Resto

- Efectuar las siguientes divisiones:
P(x)=6x6+4x5+3x3-2 entre Q(x)=x3+6
P(x)=4x3-23x-5 entre Q(x)=2x-5
P(x)=2x3-x+8 entre Q(x)=3x+1
P(x)=x6 - 2x5 + 2x + 5 entre Q(x)=x - 2
P(x)=x6 + y6 entre Q(x)=x - m
P(x)=x2 - m2 entre Q(x)=x - m

- En una división de polinomios se conoce el dividendo P, el cociente C yel resto R. Calcular el divisor Q.
P(x)=6x5+4x4-13x3+8x2+11x-14 ; C(x)=3x2+2x-5 ; R(x)=x2+1

- Sin efectuar la división, averigua cuales de los polinomios siguientes son divisibles por x+2.
a) x3+8 b) x5-32 c) x6-64

- Haciendo uso de la regla de RUFFINI, halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones.
3x5+6x3-7x2+2x-7 entre x-3
x4-7x2+9x-1/2 entre x+1/3
x5entre x-4
-x6+x3 entre x+1
3x2-6x+5 entre 6x+5
x5-5x+3 entre 2x-3

- Efectúa la siguiente división, sin desarrollar las potencias:
[x+2]3×[x-3]2 : [x+2]×[x-3]

- Siendo P(x)=3x3-2x+1, indicar si los siguientes números son raíces de P(x). a=2; b=-1; c=3; d=0

- Para que el polinomio x3 - mx2 + x + 6 sea divisible por x + 2, ¿ cómo hallarías el valor de m ?

- Halla elvalor de K para que el polinomio x3 + 2x2 - 3x + K sea divisible por x - 3.

- ¿ Es divisible el polinomio x4 + x3 - 2x + 12 por x + 2 ? En caso contrario, ¿ qué valor debe tomar el término independiente para que ello sea posible ?

- Calcula cuánto ha de valer K en los polinomios siguientes para que el resto de las divisiones sea -8 :
a) 9x4 + 2x3 + K : x - 5 b) 13x5 - K : x - 5
c)2x5 - 4x + K : x - 2

- Halla el valor que hay que dar a k en la expresión 2x3 - 5x2 + x + K ,para que al dividirla por x - 2, se obtenga de resto 6.

- Determinar k para que el polinomio x4-kx3+5x+3 sea divisible por x+4.

- Ídem para el polinomio x3+2/3x2+kx+7/9 sea divisible por x+1/3.

- ¿ Qué relación debe haber entre m y n para que x2 + 2mx - 4n - 4 sea divisible por x - 2 ?
- Hallala relación entre t y h para que el polinomio 5x4 - tx2 + 3x - 2h sea divisible por x - 1.
- Calcula los valores de m y p de manera que el polinomio mx3+px2-9x+18 se anule cuando se reemplaza x por 2 y cuando se sustituye x por -3.

- Calcula los valores de m y n para que sea exacta la división siguiente :
x4 - 5x3 + 4x2 + nx - m : x2 - 2x + 3
- Determinar un polinomio de cuarto grado cuyocoeficiente principal sea 3, cuyo valor numérico para x=0 sea 1, que no tenga termino en x2, que sea divisible por x-2 y cuyo resto al dividir por x+1 sea -

Factorización

- Hallar un polinomio de quinto grado cuyas raíces sean 1, -1, 1, -2, 1/4 y tal que su valor numérico en 0 sea 16.

- Escribir un polinomio cuyas raíces sean:
a) 3, 2, -1; b) 0, 3, -1, 1; c) 2(doble), 3; d) 1, 4/3,-2

- Escribir un polinomio de grado 3 cuyos ceros sean :
a) -1, 2; b) 0; c) 2, 3, -1, 4

- Factorizar los siguientes polinomios:
x5 + 3x4 - 5x3 -19x2 + 20
x4 - 7x3 + 7x2 + 6x
4x5 + 7x4 - 7x3 - 10x2
x4-3x3-8x2+12x+16
8x3-4x2-10x-3
x4+x3+5x2-x-6
x4-x2
x5-2x4-8x3+16x2+16x-32

M.C.D y M.C.M

- Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:
x3-3x2+4 y3x3-18x2+36x-24
x4-3x2+2x ; x4-6x3+5x2 y x3-2x2+x
4x3-12x2+9x-2 y 2x2-2

- Sean p(x) = x5+x4-8x3-8x2+16x+16
q(x) = x5+2x4-2x3-4x2+x+2
Descomponer p(x) y q(x) en producto de factores primos ó irreducibles.
Resolver las ecuaciones p(x) = 0 y q(x) = 0.
Hallar el m.c.d.[p(x),q(x)] y el m.c.m.[p(x),q(x)].

- Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplode los polinomios que se indican en cada apartado. Usar para ello, siempre que sea posible, el método de EUCLIDES.
P(x)=x4-2x2+1 y Q(x)=x2+x-2
P(x)=4x4+4x3+9x2+8x+2 y Q(x)=8x3-4x2-10x-3
P(x)=x-3; Q(x)=[x-3]2; T(x)=x2-9; K(x)=x+3
Indicacion : a) P(x)=(2x+1)2(x2+2) Q(x)=(2x+1)2((2x-3)

- Demostrar que los polinomios A(x)=x5-6 y B(x)=x3+3 son primos entre sí.
Fracciones Algebraicas

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