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Páginas: 5 (1208 palabras) Publicado: 30 de abril de 2012
Serie De McLaurin
Principio del formulario
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Final del formulario
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, conpolinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizaruna estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
* La derivación e integración de una de estasseries se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estoscasos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x

) se puede desarrollar como serie de McLaurent.
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Serie de Taylor y Maclaurin

Sea
[pic]
la representación en serie de potencias de f(x).
Si derivamos obtenemos,
[pic]
evaluamos en [pic]
[pic]
encontramos la segunda derivada
[pic]
evaluamos en [pic]
[pic]
Encontramos la tercera derivada
[pic][pic]
evaluamos en [pic]
[pic]
Encontramos la cuarta derivada
[pic][pic]evaluamos en [pic]
[pic]
De esta manera podemos ver que
[pic]
resolvemos para [pic]
[pic]
Como [pic]=[pic] sustituimos [pic]y obtenemos,
[pic] Serie de Taylor centrada en c
Si ahora hacemos c = 0 entoces obtenemos
[pic] Serie de Maclaurin


Ejemplo #1



Ejemplo #2


Ejemplo #3

Tomemos [pic]
La derivamos y obtenemos
[pic]
La derivamos yobtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos y obtenemos
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La derivamos yobtenemos
[pic]
La derivamos y obtenemos
[pic]
Bueno ahora ya podemos desarrollar las sumatorias.
Si sabemos que [pic]Lo valuamos en 0 para centrarlo en 0
Ahora veamos como funcionan los Polinomios de Taylor
[pic]Esta es su grafica
[pic]
[pic]Esta es su grafica
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[pic]Esta es su grafica
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[pic]Esta...
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