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UNIVERSIDAD DEL PAC´
IFICO
Facultad de Econom´ y Finanzas
ıa
30651 Matem´ticas III
a
Semestre 2013-II
Profesores: Miguel Jaramillo (A)
Eduardo Mantilla (B-C)

Jefes de Pr´ctica:
aEnrique Valeriano (D)

Juan C. Salinas
Bill W. Gee
Bryan Guti´rrez
e
Alejandro Vigil

´
PRACTICA DIRIGIDA N◦ 5
T´picos de ´lgebra lineal III
o
a
1. Se conoce que el cociente de Rayleighespecial est´ definido como:
a
Re =

xT Ax
x

Si se conoce que A es una matriz sim´trica de orden n y que tiene vectores propios vi con valores
e
propios asociados no repetidos λi para todo i = 1,2, · · · , n; demuestre que se cumple la siguiente
condici´n:
o
xT Ax
m´
ın{λ1 , λ2 , · · · , λn } ≤
≤ m´x{λ1 , λ2 , · · · , λn }
a
x
2. Si µx =

1
n

n

xi , represente en la formacuadr´tica:
a
i=1
n
2
(1 − n)Sx =

(xi − µx )2
i=1

en la forma de xT Ax donde x ∈ Rn es un vector columna y A ∈ Mn (K) es una matriz sim´trica.
e
3. En la teor´ del portafolio en finanzas, esimportante conocer cu´l es la estructura de la varianza de
ıa
a
una cartera de acciones, indicador que mide la volatilidad (riesgo) de dicha cartera. Esta se define
de la siguiente manera:
n

n2
σ(x1 ,x2 ,··· ,xn ) =

ρi,j σi σj xi xj
i=1 j=1


 i = j → ρi,j = 1
i = j → ρi,j ∈ [−1, 1]
Adem´s, se conoce que:
a

σK , xK > 0, ∀K
a) Demostrar que, para una cartera de nactivos, la varianza anterior es una forma cuadr´tica.
a
2
b) Si solo tuvi´ramos 2 activos (n = 2), ¿son los valores propios de la matriz A (σx = xT Ax)
e
reales?
2
c) Utilice el criterio deSylvester para definir a la forma cuadr´tica σx .
a

4. Se dice que una matriz sim´trica H de orden n es una matriz de Hadamard si sus elementos son
e
iguales a 1 o −1 de manera que H T H = HH T = nIndonde In es una matriz identidad de orden n.
Con esta informaci´n, determine los valores propios de una matriz de Hadamard de orden n.
o

Matem´ticas III
a

Pr´ctica Dirigida 5 (2013-II)
a...