Grafica en matlab

Ejercicio de Aplicación

El trabajo consiste en resolver el sistema [pic], donde A es una matriz que se obtiene por medio del tratamiento matemático de la transformada de Laplace y en términos de la programación se obtiene con algunas configuraciones en Matlab y b es un vector columna que se obtiene haciendo uso de una matriz que les envío adjunta a este archivo en dos archivos bordes1.m ybordes2.m.

Para la construcción de A son necesarios los siguientes comandos, que deben ser escritos en la ventana de comandos de Matlab (Command Window):

Para bordes1.m

1. n=240;
2. I=speye(n,n)
3. E=sparse(2:n,1:n-1,1,n,n);
4. D=E+E'-2*I;
5. A=Kron(D,I)+Kron(I,D)

Descripción de los comandos:

• n=240;

Se define una variable n con valor de 240 la cualdefine el tamaño de la matriz que vamos a utilizar.

• I=speye(n,n);

Declara una matriz identidad y la trata como una matriz dispersa.

En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido)no tiene ningún efecto.

Una matriz dispersa es una matriz de grandes dimensiones (10000 x 10000, por ejemplo), en la que la mayoría de sus elementos valen 0. Solo unos pocos (100, por ejemplo) son diferentes de 0.

Por lo que almacenarlas y tratarlas como matrices normales, implica un gran gasto de memoria.

Mat lab cuenta con la función speye la cual crea una matrizdispersa I. de esta forma solo se almacena y se opera con los elementos no nulos.

• E=sparse(2:n,1:n-1,1,n,n);

Una matriz dispersa es una matriz de grandes dimensiones (10000 x 10000, por ejemplo), en la que la mayoría de sus elementos valen 0. Solo unos pocos (100, por ejemplo) son diferentes de 0.

Por lo que almacenarlas y tratarlas como matrices normales, implica un grangasto de memoria.

E=sparse(2:n,1:n-1,1,n,n), usa los vectores 2:n y 1:n-1, para generar una matriz de nxn.

• D=E+E'-2*I;

El operador ' es el de trasposición (en realidad trasposición y conjugación): 
Ejemplo:
>>w=[4 5 6];
>>w'
ans =
4
5
6

• A=Kron(D,I)+Kron(I,D);

Kron sirve para calcular el producto exterior.Ejemplo:
kron(a, b)
Producto tensorial de Kronecker de dos tensores. Cuando a y b son vectores esta operación se llama producto exterior.
|Parámetros: |a – Escalar, vector o matriz de cualquier dimensión |
| |b – Escalar, vector o matriz de cualquier dimensión ||Return type: |La dimensión del resultado siempre será la suma de las dimensiones de los argumentos |
| | |

El resultado de ejecutar estos comendos se muestra en la siguiente imagen.

[pic]

Posterior a esto es necesario tomar la matriz bordes1.m yconvertirla en un vector de tamaño [pic], para esto aplicamos el comando:

6. B=reshape(bordes1, 240^2,1)

Descripción del comando:

• B=reshape(bordes1, 240^2,1)

reshape(A,m,n) Cambia el tamaño de la matriz A devolviendo una matriz de tamaño m×n cuyas columnas se obtienen a partir de un vector formado por las columnas de A puestas una a continuación de otra.

El resultado de la ejecuciónde este comendo se muestra a continuación:
[pic]

Ahora, con A y B definidos, resolvemos el sistema [pic] haciendo uso del programa SOR.m adjunto a éste archivo.

7. N=100

8. w=1.25

9. tol=10^-6;

10. Xo=zeros(57600,1)

11. [X,k]=SOR(A,B,Xo,tol,N,w)

Descripción de los comandos:

• N=100

Se declara la variable N igual a 100.

• w=1.25...