Guia De Funciones Vectoriales

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁTEDRA DE FUNCIONES VECTORIALES

GUÍA DE ORIENTACIÓN PRÁCTICA

( Tomado de su publicación original de fecha 15 de Marzo de 1995. Trascripción: Prof. Enrique Flores, Septiembre de 2005)

Tema 1: Límites y continuidad
1. En cada caso, determine el dominio de f
⎛ ⎛ ⎛ x2 y 2 ⎞ ⎞
⎞
2
2 ⎟
⎟⎟ ⎟ ,
(a) f(x, y) =⎜ln⎜⎜ln⎜⎜
+
x
+
y
⎟
⎜
⎟
⎝ ⎝ ⎝ 9 25 ⎠ ⎠
⎠
(b) f(x, y) =

( ln(4 − x )

, arccos( xy) ,

4 − x2 − y2

)

⎛ x2 + y 2 − 1 ⎞
⎟⎟
(c) f(x, y) = ln⎜⎜
2x
⎝
⎠
1

1 ∧
1 ⎞2 ∧
⎛
(d) f(x, y) = ⎜ y − ⎟ i + (e y − x )2 j
x⎠
⎝
(e) f(x, y) = (ln (36 − 9x2 − 4 y2 ) , arccos(3 − 2y ))

(f) f(x, y, z) =

(

x , ln(9 − x2 − y2 − z2 ) ,

z

)

2. Dibuje e identifique las gráficas de las siguientes funciones
(a) f(x, y) =3(x 2 + y 2 )

(b) f(x, y) = −5(x2 + y2 ) + 2
(c) f(x, y) =

4 − 4x 2 − y 2

(d) en cada uno de los casos anteriores, obtenga, identifique y dibuje la curva de nivel de f
que pasa por el punto (1,1).
3. En cada caso dibuje la gráfica de f(x,y), dibuje e identifique las curvas de nivel para c = ½, 1, 3
(a) f(x, y) = x + y
(b) f(x, y) = 2 − (3 x + y )

(c) f(x, y) = 2 − x 2 + y 2
(d) f(x, y) = 1 − (x2 + y 2 )

4.

(a) Si
i.
ii.
iii.

x 2 + y 2 < 9 obtenga una cota apropiada para
3(x − 1) y + 1

3x 3 + y 2
x2 + y2
2x 2
x + y

(b) Demostrar que si
x 4 + 3y 4
1
entonces
<1
3
4
2
2 2
(x + y )

i.

(x, y )

<

ii.

(x, y )

< 50 entonces

7 xy
x2 + y2

< 50

5. Se dispone de una variedad de triángulos rectángulos. Se requiere construir cuadrados cuyos
lados sean la suma de los catetos de cadatriángulo respectivamente. Busque una cota superior
para la longitud de las hipotenusas de los triángulos para garantizar que el área de cada
rectángulo sea a lo sumo 100 cm2.
6. Demostrar que los puntos

(t ,
2

1⎞
⎛
− t, 2t ) caen dentro de S⎜ (1, − 1, 2),
⎟ para todo
3⎠
⎝

1 ⎞
⎛
t ∈ S⎜ 1,
⎟ . Represente mediante un dibujo.
10 ⎠
⎝

1 ⎞
⎛
7. Hallar un δ > 0 tal que los puntos (t2, − t, 2) caigandentro de S⎜ (1, − 1, 2),
⎟ para
100 ⎠
⎝
todo t ∈ S(1, δ ) . Represente mediante un dibujo.
8. Demuestre que no existen los siguientes límites
2xy
lim
(a)
(x, y )→ (0, 0 ) x − 2y
xy
(b)
lim
(x, y )→(2, 0 ) 4 − x 2 − y 2
x−y
lim
(c)
(x, y )→(0, 0 ) y − x 2
y − 4x
(d)
lim
(x, y )→(2, 8 ) y − 3x 2 + 2x
(e)

(x ,

lim

y )→(2,

4 − x2
−2 ) y + 2

9. Para cada una de las siguientes funciones calcule ellímite cuando (x, y ) → (0, 0 )
⎛
⎛1⎞
⎛1⎞
(a) f(x, y) = ⎜ (x + y )sen⎜ ⎟sen⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎜
⎝x⎠
⎝y⎠
⎝
⎛ x2 − y2
x3 ⎞
⎟
(b) f(x, y) = ⎜⎜ x 2
,
2
x 4 + y 2 ⎟⎠
⎝ x +y
⎛
2
2
(c) f(x, y) = ⎜⎜ 3x 2 + 2y + 9 , e x + y
⎝

x 3 ⎞⎟
x 2 + y 2 ⎟⎠

,

x2 − y2 ⎞
⎟
x − y ⎟⎠

⎛ 2x 2 y
(d) f(x, y) = ⎜⎜ 4
2
⎝ 2x + y

⎞
, ln (x 2 + y 2 + 10 )⎟⎟
⎠

10. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. En caso dediscontinuidad no esencial
redefina la función de una manera continua
⎧⎪ x + y
si x ≠ kπ
(a) f(x, y) = ⎨ senx
k = 0, ± 1, ± 2, ...
en caso contrario
⎪⎩ 1 + y
2 3
⎧ x y
si (x, y ) ≠ (0, 0 )
⎪
(b) f(x, y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪
0
si (x, y ) = (0, 0 )
⎩
⎧ x2 − y2
si (x, y ) ≠ (0, 0 )
⎪xy
(c) f(x, y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪
0
si (x, y ) = (0, 0 )
⎩
11. Dada la transformación lineal T (x, y) = (4x + 3y, 2x − 5y ) calcular un δcorrespondiente a un
ε = 0.05 que cumpla la condición de continuidad en todo el plano.

Tema 2: El diferencial

1. Calcule la pendiente en el punto (2,1,7) de la curva obtenida al cortar la superficie z = x2 + 3y2
con el plano x = 2. Represente en un dibujo. ¿Cuál es la variación aproximada de la cota del punto
cuando la ordenada pasa de 1 a 0.5?
2.

x
x
(a) Demuestre que z = e −t cos⎛⎜ ⎞⎟ y z = e−t sen⎛⎜ ⎞⎟ son soluciones de la ecuación
⎝c⎠
⎝c⎠
2
∂ z
∂z
= c 2 2 ( c constante).
∂t
∂x
1
(b) Demuestre que la función V(x, y, z) =
satisface la ecuación de Laplace
x2 + y2 + z2

∂2V ∂2V ∂ 2V
=0
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
3. La temperatura (en grados centígrados) en el pto. (x,y) de una placa de acero viene dada por
T (x, y ) = 500 − 0.6x2 − 1.5y2
(a) ¿Con respecto a cuál de las variables es T más...