Guia de Integral con respuesta

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LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES

I)

LA INTEGRAL INDEFINIDA

En este capítulo estudiaremos el siguiente problema: Dada una función 0 ÐBÑ ß
se desea hallar una función J ÐBÑ cuya derivada sea igual a 0 ÐBÑ , es decir J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ
Definición:

Si en todos los puntos del intervalo  +ß , ‘ se verifica la ecuación
J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ , la función J ÐBÑ se llama primitiva de lafunción 0 ÐBÑ en este intervalo.
Ejemplo:
Hallar una función primitiva de la función 0 ÐBÑ œ B#
Solución:
De la definición de función primitiva se deduce que la función J ÐBÑ œ
primitiva de la función 0 ÐBÑ œ B# , pues (

B$ w
) œ B#
$

B$
es
$

Es fácil ver que si la función dada 0 ÐBÑ tiene una primitiva, esta no es unica. Así, en el
ejemplo citado, como funciones primitivas podríanfigurar las siguientes:
B$
B$
J ÐBÑ œ
" à
J ÐBÑ œ
( à
etc.
$
$
en general J ÐBÑ œ

Ð G es una constante arbitraria ), puesto que (

B$
 G ) w œ B#
$

Teorema 1.

Si J" ÐBÑ C J # ÐBÑ son dos funciones primitivas de la función 0 ÐBÑ en el intervalo  +ß , ‘,
su diferencia es una constante.
Demostración:

a B −  +ß , ‘

J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ
Por hipótesis se tiene que œ "
J w#ÐBÑ œ 0 ÐBÑ

1 ÐBÑ œ J" ÐBÑ  J # ÐBÑ Î

Si hacemos

w

w

¾

1 w ÐBÑ œ J " ÐBÑ  J # ÐBÑ
1 w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ  0 ÐBÑ œ !

¾

Calculo integral

.
.B

si 1 w ÐBÑ œ !

Ê 1 ÐBÑ es un valor constante.

Prof: Victor Henríquez Rojas

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Definición:
Si J ÐBÑ es una función primitiva de 0 ÐBÑ ß la expresión J ÐBÑ  G se llama Integral

Indefinida de la función 0 ÐBÑ y sedesigna por el símbolo ( 0 ÐBÑ .BÞ

Así pues, según la definición ( 0 ÐBÑ .B œ J ÐBÑ  Gß en que 0 ÐBÑ se llama integrando y la expresión
0 ÐBÑ .B , elemento de integración.
De este modo, la integral indefinida representa una familia de funciones de la forma
C œ J ÐBÑ  Gß que geometricamente representan un conjunto ( familia ) de curvas, cada una de las
cuales se obtiene mediante eldesplazamiento de una curva paralelamente a sí misma a lo largo del eje
de ordenada, dependiendo de la constante.
Observaciones:
1)

2)

Toda función 0 ÐBÑ continua en un intervalo  +ß , ‘, tiene una función primitiva ( y por
tanto una integral indefinida ).

La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, es decir, si
J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ, entonces
’( 0 ÐBÑ .B“ œ  J ÐBÑ  G ‘ œ 0ÐBÑ
w

w

Esta igualdad significa que la derivada de una primitiva cualquiera es igual al integrando.
3)

La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración.
. ’( 0 ÐBÑ .B“ œ 0 ÐBÑ .B
En efecto,

II)

. ’( 0 ÐBÑ .B“ œ .  J ÐBÑ  G ‘ œ J w ÐBÑ .B œ 0 ÐBÑ .B

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Teorema 2.
La integral indefinida de la suma algebraica dedos o más funciones es igual a la

suma de sus integrales.
(  0 " ÐBÑ  0 # ÐBÑ‘ .B œ ( 0 " ÐBÑ .B  ( 0 # ÐBÑ .B
Demostración:
Derivando la igualdad se tiene
’(  0 " ÐBÑ  0 # ÐBÑ‘ .B “ œ ’( 0 " ÐBÑ .B“  ’( 0 # ÐBÑ .B “
w

w

w

 0 " ÐBÑ  0 # ÐBÑ ‘  G œ 0 " ÐBÑ  G "  0 # ÐBÑ  G #
Calculo integral

Prof: Victor Henríquez Rojas

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 0 " ÐBÑ  0 # ÐBÑ ‘  G œ  0 "ÐBÑ  0 # ÐBÑ ‘  Ð G "  G # Ñ
haciendo G œ G "  G # ß sus integrales difieren sólo en una constante, esto es la
constante de integración.
Teorema 3.
Un factor contante se puede sacar fuera del signo integral, es decir, si 5 œ ->/ß
entonces:
( 5 † 0 ÐBÑ .B œ 5 † ( 0 ÐBÑ .B
Demostración: Derivando la igualdad anterior se tiene
’( 5 † 0 ÐBÑ .B“ œ ’5 † ( 0 ÐBÑ .B“
w

w

Ê

5 † 0 ÐBÑ œ5 † 0 ÐBÑ

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS.

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( B .B œ ( .B œ B  G

8
( B .B œ

B 8"
G
Ð8 Á  "Ñ
8"
"
"
.B œ 68 ¸ B ¸  G
( B .B œ (
B
( =/8 B .B œ  -9= B  G
( -9= B .B œ =/8 B  G
#
( =/- B .B œ (

"
.B œ >1 B  G
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