Guia Funciones 2008

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas
Facultad de Cs. de la Salud - Rehabilitaci´
on
FMM 002 - Matem´
aticas

GUIA FUNCIONES

1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones
(a) f (x) = 4x2 − 6
3
(b) f (x) =
x−1
(c) f (x) =

1 − x2

(d) f (x) =

1+

(e) f (x) =

3

x2
1 − x2

x2 − x

4 − t2
2t2 − 7t − 4
x2 − 3x + 2
(g) f (x) =
x2 − 4
(f) f (t) =

2. Considerelas funciones f (x) = 9x + 7 y g(x) = x2 − x, determine
f (2 + h) − f (2)
h
g(x) − g(4)
(b)
x−4
(c) f (g(x)) − g(f (x))
(a)

(d) f (g(1)) − g(f (−2))
3. Suponga que f (b) = ab2 + a2 b, calcule f (ab) y f (a).
4. Determinar funciones f y g, tales que h(x) = f (g(x)) para cada uno de los siguientes casos
(a) h(x) = (4x − 3)2
√
(b) h(x) = x2 − 2
1
(c) h(x) = 2
x −1
(d) h(x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + x −2
5. Graficar las siguientes funciones cuadr´aticas
(a) f (x) = (4x − 3)2
(b) f (x) = 2x2 − 3x + 4
(c) f (x) = −3x2 + 2x + 1
(d) f (x) = (x − 3)(2 − x)

6. Dada la funci´on

f (x) =

Determine


1−x



 x−2

si x < 2




 3x + 1
4

si x ≥ 2

f (−2) + 3f (7)
f (5) + (f of )(0)

7. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en qu´e intervalos la funci´on es positiva,negativa, creciente y decreciente
(a) f (x) =

2 si 0 ≤ x ≤ 4
3x si x > 4

(b) f (x) =

2x + 1 si − 1 ≤ x < 2
9 − x2 si x ≥ 2


 x + 1 si 0 ≤ x < 3
4
si 3 ≤ x ≤ 5
(c) f (x) =

x − 1 si x > 5
8. Considere la funci´on definida por
 2

 x + 7 si x ≤ −1
1
f (x) =
si − 1 < x < 0
 x

x + 9 si x ≥ 0

(a) Encuentre la ecuaci´on de la recta que pasa por (2, f (2)) y que tiene pendiente ”3”.
(b)Encuentre f (f (−2)).
9. Sea f (x) =

(a − 1)x − 1
. Determine el valor de a ∈ R tal que la imagen de ”1” sea ”1/5”.
ax + 2

10. Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que sean
biyectivas
x+3
2x − 1
(b) f (x) = x2 − 1
(a) f (x) =

(c) f (x) = 4x + 1
√
(d) f (x) = x + 1

APLICACIONES
11. Despu´es de observar una fotocopiadora autom´atica de trabajocontinuo, el t´ecnico descubre que por
un defecto de funcionamiento, la producci´on disminuir´a en un n´
umero constante de hojas impresas
por hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 con
desperfecto produjo 3900 hojas
(a) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la
fotocopiadora con defecto, N , enfunci´on de la cantidad de horas t.
(b) ¿Despu´es de cu´antas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420?
12. En cierto experimento de aprendizaje, involucrando repetici´on y memoria, se estim´o que la proporci´
on
de p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en
segundos), donde t est´a entre 5 y 9 . Para un tiempo de estudioefectivo de 5 segundos la proporci´
on
de elementos recordados fue de 0.32 .Por cada segundo m´as en el tiempo de estudio, la proporci´
on
recordada aumentaba en 0.059
(a) Determine la relaci´on que exprese p en t´erminos de t
(b) ¿Qu´e proporci´on de elementos fue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio?
13. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel decolesterol superior a 210, cada aumento
del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontr´o que para un grupo de edad
particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgo
es de 0.192.
(a) Encuentre una ecuaci´on lineal que exprese el riesgo R en t´erminos del nivel de colesterol C.
(b) ¿Cu´al es el riesgo para un nivel de colesterolde 260?
14. En un estudio de paciente HIV que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontr´
o que
despu´es de 4 a˜
nos, 17% de los pacientes ten´ıan sida y que despu´es de 7 a˜
nos 33% lo ten´ıan.
(a) Encuentre una funci´on lineal que modele la relaci´on entre el intervalo de tiempo y el porcentaje
de pacientes con sida.
(b) Pronostique el n´
umero de a˜
nos hasta que la mitad de...