guia matematicas conjunto acotados

GUÍA 2
Cálculo Diferencial
Conjuntos Acotados
1. Determine si el conjunto A = {x ∈ R : |x + 3| − |x + 1| > 3} es un conjunto acotado.
2. Sea A =

7n+7
n

: n ∈ N . Demuestre que Inf (A) = 7.n

3. Considere el conjunto A = { (−1) : n ∈ N}. ¾Es A un conjunto acotado? En caso de ser un conjunto acotado,
n
¾cuál es el supremo e ínmo de A? ¾A tiene máximo y mínimo?
n−3
4. Determinesi A = { 2n+5 : n ∈ N} es un conjunto acotado. Si es acotado, ¾cuál es el supremo e ínmo de A?

5. Sea A un subconjunto de R acotado superiormente. Dena el conjunto C = {c ∈ R : c ≥ a, ∀a ∈ A}.Demuestre
que C es acotado inferiormente. ¾Es cierto que inf (C) = inf (A)?
6. Sean A y B subconjuntos de R acotados y α en R. Dena los conjuntos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} y
αA = {αa : a ∈ A}.Demuestre las siguientes proposiciones:
a) A + B es un conjunto acotado con sup(A + B) = sup(A) + sup(B) e inf (A + B) = inf (A) + inf (B).
b) αA es un conjunto acotado con sup(αA) = αsup(A) e inf(αA) = αinf (A) si α ≥ 0 y sup(αA) = αinf (A)
e inf (αA) = αsup(A) si α < 0.
7. Sea x en R jo. Dena Ax = {k ∈ Z : k ≤ x}, el cual es un conjunto acotada superiormente, ¾por qué? Denote
el supremo deAx por [x], esto es, sup(Ax ) = [x]. A este número lo llamaremos la parte entera de x.
a)
b)
c)
d)
e)

Demuestre que [x] es un número entero.
Demuestre que si x es un entero, entonces [x] =x.
¾Es cierto que para todo x e y en R, [x + y] = [x] + [y]?
¾Es cierto que cualquier número entero se puede escribir de la forma (−1)n
¾Es cierto que [n + x] = n + [x], para cualquier valor de n enN y x en R?

n
2

, para un único n en N?

8. Sean A y B subconjuntos de R tal que A ⊂ B y B acotado superiormente. ¾Es cierto que sup(A) ≤ sup(B)?
9. Sean A y B subconjuntos de R tal que A ⊂B y A acotado inferiormente. ¾Es cierto que inf (A) ≤ inf (B)?
3
10. Sea a1 = 2 y an+1 =
√
inferiormente por 2.

1
2

an +

2
an

para n ≥ 1. Demuestre que A = {an : n ∈ N} es un...